基于学生解题中的疑惑点谈高考解题探究

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  [摘要]就学生而言,解题的疑惑点在哪里?是因不理解而“疑惑”,是因为对概念的深化考查而“疑惑”,还是学生因定型的技能无法突破其惯性思维而“疑惑”?作为教师,我们面对学生提出的疑惑,应思考:如何面对疑惑;如何引导学生走出疑惑.
  [关键词]抛物线椭圆圆判别式
  [中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058(2015)290044
  《高考考试大纲说明》中明确指出:“对于圆锥曲线的内容,不要求解有关两个二次曲线交点坐标的问题(两圆的交点除外).”但是我们在解决某些问题时,难免会遇到两个二次曲线相切或相交的问题,所以作为教师,我们首先应该让学生理解:两个二次曲线消元后,得到的方程的判别式与交点个数不等价.其次,有些问题涉及两个二次曲线所讨论和研究的往往并不局限于交点问题.所以,我们在探究新的问题时,一定要做好等价转化工作和转化后的补充工作.例如,在考查二次曲线的某些参量之间的关系时,涉及的参量较多,问题往往显得复杂,这时我们应该冷静地分析问题的本质,将问题逐步转化为我们所熟悉的问题.转化的过程中一定要注意转化的等价性.总之,面对因陌生、不熟悉或思维定式遇见的疑惑时,要理清思路,顺藤摸瓜,分析好问题的本质,做好等价转化工作,从而解决疑惑.
  我结合一次高考模拟试题讲评的经历,谈一谈如何利用学生解题中的疑惑点,做好解题引导和解题探究.
  但是由抛物线和椭圆的对称性可知:x1=x2>0,显然与x1x2=-4<0矛盾.
  作为教师,我在解决问题的教学过程中,由于思维定式,直接应用了焦半径公式,没有过多去想二次曲线交点的问题.但是在试卷中、课堂中,有一个声音提出了这样的疑惑,我很高兴.因为学生在学习的过程中敢于提出自己的疑惑.
  学生的疑惑:为什么此时的韦达定理不成立?
  学生讨论:同学们受思维定式的影响,没有跳出已有的思维框架.
  在学生遇到疑惑时,教师如何引导学生走出疑惑呢?我的做法具体如下.
  第一,分析解法.首先,我肯定了学生的解题思想.因为学生是联想了直线与圆锥曲线的关系来解决本题,从方法上、思维习惯上符合解决问题的思维.但是,为什么在转化的过程中出现了问题呢?是韦达定理真的不成立吗?
  第二,分析问题.我引导学生分析问题出现的原因.我们在处理此问题时,是通过联立方程转化为一元二次方程,那么问题是否出现在转化的等价性上?
  接下来,我和学生一起分析我们的转化是否是等价转化.等价转化是一个充分必要条件,我们需要检查解题时是否忽略了一些条件.首先,我们一起研究了问题的一些隐含条件.我们在联立方程的过程中,忽视了一个重要的隐含条件:x≥0.所以我们的转化是不等价的,导致后面的韦达定理不成立.也就是说,双二次曲线的问题中判别式的符号与交点个数并不完全等价,根的个数与交点个数不完全等价.而且我们通过抛物线和椭圆的对称性可知:x1=x2>0,所以曲线的两个交点实际上只是等价转化为方程的一个正根.所以在联立方程后,我们只需要保证其方程有一个正根,就可以保证其对应两个二次曲线的两个交点,另外一个根是增根,是不满足题意的.
  通过以上分析,我们得知在将两个二次曲线交点问题转化为方程根的问题时,其等价性不满足.但是我们可以通过图形结合补充转化为等价性问题来解决.通过师生的共同分析,学生的疑惑成功得以解决,而且解题探究教学得以顺利开展.
  在中学数学中,二次曲线相交的关系中有如下几种:椭圆与抛物线、椭圆与双曲线、抛物线与双曲线、双曲线与圆、圆与椭圆、圆与抛物线.为了使学生有一个更加直观、形象的理解,我通过圆与抛物线的一个实例,引导学生一起探究双二次曲线的问题中判别式的符号与交点个数的关系、方程的根与交点个数的关系.
  【例2】如图2,讨论圆C1:(x-a)2 y2=22与抛物线C2:y2=2x的位置关系.
  解:如图2,圆C1:(x-a)2 y2=22是以(a,0)为圆心,2为半径的圆,从图2不难发现:
  (1)当a<-2时,圆与抛物线无公共点;
  (2)当a=-2时,圆与抛物线相切;
  (3)当-2  (4)当a≥2时,圆与抛物线的关系则很难从图形上加以判断.
  为此,我们需借助方程组
  (x-a)2 y2=4y2=2x
  的解的个数来加以说明.
  把y2=2x代入(x-a)2 y2=22,整理得:x2 2(1-a)x a2-4=0(※).
  此方程的判别式为Δ=20-8a.
  当a=52时,Δ=0;
  当a>52时,Δ<0;
  当a<52时,Δ>0.
  则当a=52时,圆与抛物线相切;
  当a>52时,圆与抛物线无公共点;
  当a<52时,虽然有方程(※)的Δ>0,但圆与抛物线并不总有公共点,即判别式与方程组解的个数不等价.
  原因分析:方程组在转化为方程(※)的过程中,忽略了条件x≥0.事实上,方程组解的个数等于方程(※)的非负解的个数,而非负解的个数和交点个数不是一对一的关系,而是一对一或一对二的关系.
  综上所述,圆C1:(x-a)2 y2=22与抛物线C2:y2=2x的位置关系如下:
  ①当a<-2或a>52时,圆与抛物线无公共点;
  ②当a=-2时,圆与抛物线相切(只有一个公共点);
  ③当-2  ④当a=2时,圆与抛物线相交(三个公共点);
  ⑤当2  ⑥当a=52时,圆与抛物线相切(两个公共点).
  我们可以利用类似的方法研究椭圆与抛物线、抛物线与双曲线、椭圆与双曲线、双曲线与圆、圆与椭圆的交点和方程解的关系.通过实例,我们得出结论:双二次曲线交点的问题中,判别式的符号与交点个数并不完全等价.
  著名的数学家莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出:“解题就是把要问题转化为已经研究过的问题.”数学问题的求解过程,就是从未知向已知、从复杂到简单的转化过程.
  通过本节课,我深刻地意识到,面对学生的问题时,我们应该站在数学思想的高度去给学生做好思考的引导,同时,做好教学的解题研究.由此可见,教学永远是一个互动的艺术,是一个相互促进的过程,教是为了更好地学,学也是为了更好地教.
  [参考文献]
  [1]罗曾儒.数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社,2011.
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  [3]王文英,杨平,王树文.利用学生解题时的纠结点,做好解题教学——一节习题课的经历[J].中学数学教学参考(上旬),2013(1-2).
  [4]罗曾儒.一个最大值问题的教学分析[J].中学数学教学参考(上旬),2013(1-2).
  (责任编辑钟伟芳)
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