摘 要：某些不等式的证明，如果只用初等数学的知识将很难找到简捷、有效的证明方法。而高等数学的理论往往能给出简单、方便的证明，本文通过具体例子给出了微分学理论在不等式证明中的几个应用。
　　关键词：不等式 单调 微分 凹凸性
　　中图分类号：O178 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2012）12（c）-0093-01
　　不等式是数学中基本而且应用广泛的一部分内容，为了使不等式用起来更方便准确，我们常常要证明相关的不等式的正确性。此时，就涉及到不等式的证明。不等式的证明方法有很多，针对不同的不等式我们应该采取相应不同的证明方法，来达到方便快捷的解决问题的目的。证明不等式时，通常先运用比较法、分析法、综合法和放缩法对问题进行初步分析，然后再采用其它恰当的方法来证明。同时还要注意数形结合、分类讨论等数学思想的灵活运用。本文主要探讨利用微分学理论证明不等式的几种方法，并给出实例加以说明。
　　1 利用函数单调性
　　函数的单调性本身就是不等式，此方法的关键是把要证明的不等式归结为某函数的两个函数值的大小关系，进而抽象出该函数，然后再利用函数的单调性证明不等式。
　　理论基础：如在区间上连续，在内可微分，则在区间上单调递增（递减）的充分必要条件是.
　　例1：已知，试证.
　　分析：由于，所以不等式
　　等价于不等式. 和分别是函数在和处的函数值。因此，我们只要说明函数在上单调递减即可。
　　证明：令，，则在区间上连续，在内可微分，且：
　　.
　　由知故，因此在上单调递减。
　　于是当时，
　　，
　　即：.
　　2 利用微分中值定理
　　如果所证不等式含有与的形式，则这些不等式一般采用微分中值定理证明会比较简单。
　　例2：证明当时，
　　.
　　分析：由于不等式中含有与形式，所以可以考虑采用拉格朗日中值定理。
　　证明：令，则在区间上连续，在区间内可微分，根据拉格朗日中值定理，在开区间内存在一个，使得：
　　.
　　设：，则.由于，所以，说明在区间上单调递减。根据，得.在结合前式即得原不等式得证。
　　点评：采用微分中值定理来证明不等式时，首先应根据所证不等式抽象出应设辅助函数的形式，这容易从中看出，其次要根据所需验证所设函数在相应区间上满足微分中值定理的条件，进而结合放缩法证明不等式。
　　3 利用函数的极值或最值
　　在不等式的证明中，当所构造的函数不具有单调性时，常常可以考虑利用函数的极值或最值来证明不等式。
　　例3：设≤≤1，＞1证明不等式≤≤1.
　　证明：令，则在上二阶可导，且 ，
　　.
　　令，解得.又因为，所以：
　　.
　　根据极值第二充分条件，函数处取得极小值，且是函数在区间上唯一的极值点。又因为
　　，所以在上的最大值为1，最小值为.因此≤≤1.
　　点评：考察函数的最值时不应有所疏漏。
　　证明不等式的方法有很多，不同类型的不等式往往需要用不一样的方法来证明。因此，在证明不等式时，应根据不等式的结构特点、内在联系，结合所学知识结论选择适当的证明方法，从而正确简洁的给出证明。
　　参考文献
　　[1] 同济大学数学系.高等数学[M].6版北京：高等教育出版社，2007.
　　[2] 孙本旺.数学分析中的典型例题和结题方法[M].长沙：湖南科学技术出版社，1981.