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摘 要：数学作为一种文化现象，其内涵十分丰富。随着数学文化研究的深入，数学文化也走进中小学课堂，渗入到实际数学中。我们要努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位。
关键词：数学文化；数学素养；文化素养
一、数学文化的定义
从狭义上讲，数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它的形成和发展；从广义上说，除上述内涵以外，数学文化还包含数学家、数学史、数学以及数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。
二、数学文化的存在价值
在高中数学课程标准中，数学文化是一个单独的板块，其重要性不言而喻。20世纪初的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向，并一直影响到今天的中国。数学的过度形式化，使人错误地认为数学只是少数学天才脑子里想象出来的“自由创造物”，数学的发展无须社会的推动，其真理无须实践的检验，当然，数学的进步也无须人类文化的哺育。于是，西方的数学界有“经验主义的复兴”。怀特（White）的数学文化论力图把数学回归到文化层面。克莱因（Kline）的《古今数学思想》《西方文化中的数学》《数学：确定性的丧失》相继问世，力图营造数学文化的人文色彩。
国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼，她和邓东皋等合编的《数学与文化》汇集了一些数学名家的有关论述，也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》，主要从数学非欧几何产生的历史阐述数学的文化价值，特别指出了思维的文化意义。郑信等出版的专著《数学文化学》，特点是用社会建构主义的哲学观，强调“数学共同体”产生的文体效应。
以上的著作以及许多的论文，都力图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来，重点是分析数学文明史，充分揭示数学的文化内涵，肯定数学作为文化存在的价值。
三、认识数学文化的民族性和世界性
每个民族都有自已的文化，也就一定有属于这个文化的数学。古希腊的数学和中国传统数学都有辉煌的成就和优秀的传统。但是，它们之间有着明显的差异。
古希腊是奴隶制国家。当时希腊的雅典城邦实行奴隶主的民主政治。男性奴隶主的全体大会选举执政官，对一些战争、财政大事实行民主表决。奴隶主之间讲民主，往往需要用理由说服对方，使学术上的辩证风气浓厚。为了证明自已坚持的是真理，先设一些人人皆同意的“公理”，规定一些名词的意义，然后把要陈述的命题，称为公理的逻辑推论。欧氏的《几何原本》正是在这样的背景下产生的。
中国在春秋战国时期也有百家争鸣的学术风气，但是没有实行古希腊统治者之间的民主政治，而是实行君王统治制度。春秋战国时期，也是知识分子自由表达见解的黄金年代。当时的思想家和数学家，主要目标是帮助君王统治臣民、管理国家。因此，中国的古代数学，多半以“管理数学”的形式出现，目的是为了丈量田亩、兴修水利、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标，理性探讨在这里退居其次。因此，从文化意义上看，中国数学可以说是“管理数学”和“木匠数学”，存在的形式则是官方的文书。
古希腊的文化时尚是追求精神上的享受，以获得对大自然的理解为最高目标。因此，“对顶角相等”这样的命题，在《几何原本》里列入命题15，借助公理3（等量减等量，其差相等）给予证明。在中国的数学文化里，不可能给这样的直观命题留下位置。
同样，中国数学强调实用的管理数学，却在算法上得到了长足的发展。负数的运用、解方程的开根法以及杨辉（贾宪）三角、祖冲之的圆周率计算、天元术那样的精致计算课题，也只能在中国诞生，而为古希腊文明所轻视。
我们应当充分重视中国传统数学中的实用与算法的传统，同时又必须吸收人类一切有益的数学文化创造，包括古希腊的文化传统。当进入21世纪的时候，我们作为地球村的村民，一定要融入世界数学文化，将数学的民族性和世界性有机地结合起来。
四、数学文化内涵
走出数学孤立主义的阴影，数学的内涵将十分丰富。但在中国数学教育界，常常有“数学=逻辑”的观念。据调查，学生把数学看作“一堆绝对真理的总集”，或者是“一种符号的游戏”。“数学遵循记忆事实—运用算法—执行记忆得来的公式—算出答案”的模式，“数学=逻辑”的公式带来了许多负面影响。正如一位智者所说：“一个充满活力的数学美女，只剩下一副X光照片上的骨架了！”
1.数学的内涵
包括用数学的观点观察现实，构造数学模型，学习数学的语言、图表、符号表示，进行数学交流。通过理性思维，培养严谨素质，追求创新精神，欣赏数学之美。
半个多世纪以前，著名数学家柯朗在名著《数学是什么》的序言中这样写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机。数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练。数学研究已出现一种过分专门和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。教师、学生和一般受过教育的人都要求有一个建设性的改造，其目的是要真正理解数学是一个有机整体，是科学思考与行动的基础。”
和所有文化现象一样，数字文化直接支配着人们的行动。孤立主义的数学文化，一方面拒人于千里之外，使人望数学而生畏；另一方面，又孤芳自赏，自言自语，令人把数学家当成“怪人”。学校里的数学，原本是青少年喜爱的学科，却成为过滤的“筛子”、打人的“棒子”。伴随着先进的数学文化，数学教学会变得生气勃勃、有血有肉、光彩照人。
2.数学素养
数学素养属于认识论和方法论的综合性思维形式，它具有概念化、抽象化、模式化的认识特征。具有数学素养的人善于把数学中的概念、结论和处理方法推广应用于认识一切客观事物，具有这样的哲学高度和认识特征。具体地说，一个具有“数学素养”的人，他在认识世界和改造世界的活动中，常常表现出三个特点： A.在讨论问题时，习惯于强调定义（界定概念），强调问题存在的条件；
B.在观察问题时，习惯于抓住其中的（函数）关系，在微观（局部）认识基础上进一步做出多因素的全局性（全空间）考虑；
C.在认识问题时，习惯于将已有的严格的数学概念如对偶、相关、随机、泛函、非线性、周期性、混沌等概念广义化，用于认识现实中的问题。比如可以看出价格是商品的对偶，效益是公司的泛函等。
更通俗地说，数学素养就是数学家的一种职业习惯。我们希望把我们的专业搞得更好，更精密，更严格，有这种优秀的职业习惯当然是好事。一位名家说：“真正的数学家应能把他的东西讲给任何人都能使其听得懂。因为任何数学形式再复杂，总有它简单的思想实质。”在现代科学中，数学能力、数学思维十分重要，这种能力不只表现为死记硬背，不光表现在计算能力方面，特别表现在建模能力上，建模能力的基础就是数学素养。思想比公式更重要，建模比计算更重要。学数学，用数学，对它始终有兴趣，是培养数学素养的好条件、好方法。学生要消除对数学的畏惧感，培养对数学的兴趣，增强学好数学的信心，了解更多的现代数学的概念和思想，提高数学悟性和数学意识，培养数学思维的习惯。
3.数学素养的作用
下面举一个例子，看看数学素养的作用。18世纪，德国哥德堡有一条河，河中有两个岛，两岸与两岛间架有七座桥。问题是：一个人怎样才可以不重复地走遍七座桥而回到原地？这个问题好像与数学关系不大，它是几何问题，但不是关于长度、角度的欧氏几何。很多人都失败了，欧拉以敏锐的数学家眼光，猜想这个问题可能无解（这是合情推理）。然后他以高度的抽象能力，把问题变成了一个“一笔画”问题，能否从一个点出发不离开纸面而画出所有的连线，使笔仍回到原来出发的地方。“一笔画”的要求使得图形有这样的特征：除起点与终点外，一笔画问题中线路的交岔点处，有一条线进就一定有一条线出，故在交岔点处汇合的曲线必为偶数条。七桥问题中，有四个交叉点处都交汇了奇数条曲线，故此问题不可解。欧拉还进一步证明了：一个连通的无向图，具有通过这个图中的每一条边一次且仅一次的路，当且仅当它的奇数次顶点的个数为0或为2。这是他为数学的一个新分支——图论所作的奠基性工作，后人称此为欧拉定理。
这个例子是使用数学思维解决了现实问题。1928年，英国物理学家狄拉克（Dirac）在研究量子力学时得到了一个描述电子运动的Dirac方程，由于开平方，得到了正负两个完全相反的解。也就是说，这个方程除了可以描述已知的带负电的电子的运动，还描述了除了电荷是正的以外，其他结构、性质与电子一样的反粒子的运动。1932年，物理学家安德森（Anderson）在宇宙射线中得到了正电子，并于1936年获得诺贝尔物理学奖。我国物理学家赵忠尧1930年正在加洲理工学院读研究生，他的试验结果一出来，在他隔壁办公室的安德森立刻意识到试验结果表明一种尚未认知的物质出现了，于是，进一步做工作将获得成功。赵忠尧与诺贝尔奖擦肩而过。
把“复杂问题”转化为“简单问题”的思考——从探索四面的重心问题谈起：
问题1：为什么三角形三条中线的交点称之为三角形的重心，它是如何被发现的？
问题2：如何求一个四面体的重心？
实验：用针头顶着三角形木板的重心，木板保持平衡，这就验证了三角形三条中线的交点确实是三角形的重心。可以说我们对三角形重心的认识也就停留在验证这样的层面上。
至于四面体的重心问题，猜测：四面体的重心应该是四个顶点和相对底面重心连线的交点，但无法像三角形那样可以通过实验进行验证。
数学的重要功能之一就是教给人们认识客观世界的方法。而处理复杂问题的基本方法之一就是尽可能把问题简单化，直至该问题足够简单为止。如寻求四面体的重心问题，首先退而寻找三角形的重心，由于三角形的重心问题仍不够简单明了，我们能否再退到更为明显的问题呢？
设想一根粗细均衡的木棒，它的重心显然位于它的中点，这是一个非常明显的基本事实。抽象成数学命题就是：线段的中点就是该线段的重心。由此我们不难推导出三角形和四面体的重心。
■
我们把解决上述问题的一般思路归纳如下：体—面—线；四面体重心—三角形重心—线段的重心。
上述例子充分揭示了知识的内在联系，使我们对问题的认识由“是什么”提升到“为什么是”的层面上，这是一个由简单到复杂的认知过程。
总之，数学文化离不开数学史，但是不能仅限于数学史。当数学文化的魅力真正渗入教材、进入课堂、融入教学时，数学就会更加平易近人，数学教学就会在文化层面上让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。
关键词：数学文化；数学素养；文化素养
一、数学文化的定义
从狭义上讲，数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它的形成和发展；从广义上说，除上述内涵以外，数学文化还包含数学家、数学史、数学以及数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系，等等。
二、数学文化的存在价值
在高中数学课程标准中，数学文化是一个单独的板块，其重要性不言而喻。20世纪初的数学曾经存在着脱离社会文化的孤立主义倾向，并一直影响到今天的中国。数学的过度形式化，使人错误地认为数学只是少数学天才脑子里想象出来的“自由创造物”，数学的发展无须社会的推动，其真理无须实践的检验，当然，数学的进步也无须人类文化的哺育。于是，西方的数学界有“经验主义的复兴”。怀特（White）的数学文化论力图把数学回归到文化层面。克莱因（Kline）的《古今数学思想》《西方文化中的数学》《数学：确定性的丧失》相继问世，力图营造数学文化的人文色彩。
国内最早注意数学文化的学者是北京大学的教授孙小礼，她和邓东皋等合编的《数学与文化》汇集了一些数学名家的有关论述，也记录了从自然辩证法研究的角度对数学文化的思考。稍后出版的有齐民友的《数学与文化》，主要从数学非欧几何产生的历史阐述数学的文化价值，特别指出了思维的文化意义。郑信等出版的专著《数学文化学》，特点是用社会建构主义的哲学观，强调“数学共同体”产生的文体效应。
以上的著作以及许多的论文，都力图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈子中解放出来，重点是分析数学文明史，充分揭示数学的文化内涵，肯定数学作为文化存在的价值。
三、认识数学文化的民族性和世界性
每个民族都有自已的文化，也就一定有属于这个文化的数学。古希腊的数学和中国传统数学都有辉煌的成就和优秀的传统。但是，它们之间有着明显的差异。
古希腊是奴隶制国家。当时希腊的雅典城邦实行奴隶主的民主政治。男性奴隶主的全体大会选举执政官，对一些战争、财政大事实行民主表决。奴隶主之间讲民主，往往需要用理由说服对方，使学术上的辩证风气浓厚。为了证明自已坚持的是真理，先设一些人人皆同意的“公理”，规定一些名词的意义，然后把要陈述的命题，称为公理的逻辑推论。欧氏的《几何原本》正是在这样的背景下产生的。
中国在春秋战国时期也有百家争鸣的学术风气，但是没有实行古希腊统治者之间的民主政治，而是实行君王统治制度。春秋战国时期，也是知识分子自由表达见解的黄金年代。当时的思想家和数学家，主要目标是帮助君王统治臣民、管理国家。因此，中国的古代数学，多半以“管理数学”的形式出现，目的是为了丈量田亩、兴修水利、分配劳力、计算税收、运输粮食等国家管理的实用目标，理性探讨在这里退居其次。因此，从文化意义上看，中国数学可以说是“管理数学”和“木匠数学”，存在的形式则是官方的文书。
古希腊的文化时尚是追求精神上的享受，以获得对大自然的理解为最高目标。因此，“对顶角相等”这样的命题，在《几何原本》里列入命题15，借助公理3（等量减等量，其差相等）给予证明。在中国的数学文化里，不可能给这样的直观命题留下位置。
同样，中国数学强调实用的管理数学，却在算法上得到了长足的发展。负数的运用、解方程的开根法以及杨辉（贾宪）三角、祖冲之的圆周率计算、天元术那样的精致计算课题，也只能在中国诞生，而为古希腊文明所轻视。
我们应当充分重视中国传统数学中的实用与算法的传统，同时又必须吸收人类一切有益的数学文化创造，包括古希腊的文化传统。当进入21世纪的时候，我们作为地球村的村民，一定要融入世界数学文化，将数学的民族性和世界性有机地结合起来。
四、数学文化内涵
走出数学孤立主义的阴影，数学的内涵将十分丰富。但在中国数学教育界，常常有“数学=逻辑”的观念。据调查，学生把数学看作“一堆绝对真理的总集”，或者是“一种符号的游戏”。“数学遵循记忆事实—运用算法—执行记忆得来的公式—算出答案”的模式，“数学=逻辑”的公式带来了许多负面影响。正如一位智者所说：“一个充满活力的数学美女，只剩下一副X光照片上的骨架了！”
1.数学的内涵
包括用数学的观点观察现实，构造数学模型，学习数学的语言、图表、符号表示，进行数学交流。通过理性思维，培养严谨素质，追求创新精神，欣赏数学之美。
半个多世纪以前，著名数学家柯朗在名著《数学是什么》的序言中这样写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机。数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练。数学研究已出现一种过分专门和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系。教师、学生和一般受过教育的人都要求有一个建设性的改造，其目的是要真正理解数学是一个有机整体，是科学思考与行动的基础。”
和所有文化现象一样，数字文化直接支配着人们的行动。孤立主义的数学文化，一方面拒人于千里之外，使人望数学而生畏；另一方面，又孤芳自赏，自言自语，令人把数学家当成“怪人”。学校里的数学，原本是青少年喜爱的学科，却成为过滤的“筛子”、打人的“棒子”。伴随着先进的数学文化，数学教学会变得生气勃勃、有血有肉、光彩照人。
2.数学素养
数学素养属于认识论和方法论的综合性思维形式，它具有概念化、抽象化、模式化的认识特征。具有数学素养的人善于把数学中的概念、结论和处理方法推广应用于认识一切客观事物，具有这样的哲学高度和认识特征。具体地说，一个具有“数学素养”的人，他在认识世界和改造世界的活动中，常常表现出三个特点： A.在讨论问题时，习惯于强调定义（界定概念），强调问题存在的条件；
B.在观察问题时，习惯于抓住其中的（函数）关系，在微观（局部）认识基础上进一步做出多因素的全局性（全空间）考虑；
C.在认识问题时，习惯于将已有的严格的数学概念如对偶、相关、随机、泛函、非线性、周期性、混沌等概念广义化，用于认识现实中的问题。比如可以看出价格是商品的对偶，效益是公司的泛函等。
更通俗地说，数学素养就是数学家的一种职业习惯。我们希望把我们的专业搞得更好，更精密，更严格，有这种优秀的职业习惯当然是好事。一位名家说：“真正的数学家应能把他的东西讲给任何人都能使其听得懂。因为任何数学形式再复杂，总有它简单的思想实质。”在现代科学中，数学能力、数学思维十分重要，这种能力不只表现为死记硬背，不光表现在计算能力方面，特别表现在建模能力上，建模能力的基础就是数学素养。思想比公式更重要，建模比计算更重要。学数学，用数学，对它始终有兴趣，是培养数学素养的好条件、好方法。学生要消除对数学的畏惧感，培养对数学的兴趣，增强学好数学的信心，了解更多的现代数学的概念和思想，提高数学悟性和数学意识，培养数学思维的习惯。
3.数学素养的作用
下面举一个例子，看看数学素养的作用。18世纪，德国哥德堡有一条河，河中有两个岛，两岸与两岛间架有七座桥。问题是：一个人怎样才可以不重复地走遍七座桥而回到原地？这个问题好像与数学关系不大，它是几何问题，但不是关于长度、角度的欧氏几何。很多人都失败了，欧拉以敏锐的数学家眼光，猜想这个问题可能无解（这是合情推理）。然后他以高度的抽象能力，把问题变成了一个“一笔画”问题，能否从一个点出发不离开纸面而画出所有的连线，使笔仍回到原来出发的地方。“一笔画”的要求使得图形有这样的特征：除起点与终点外，一笔画问题中线路的交岔点处，有一条线进就一定有一条线出，故在交岔点处汇合的曲线必为偶数条。七桥问题中，有四个交叉点处都交汇了奇数条曲线，故此问题不可解。欧拉还进一步证明了：一个连通的无向图，具有通过这个图中的每一条边一次且仅一次的路，当且仅当它的奇数次顶点的个数为0或为2。这是他为数学的一个新分支——图论所作的奠基性工作，后人称此为欧拉定理。
这个例子是使用数学思维解决了现实问题。1928年，英国物理学家狄拉克（Dirac）在研究量子力学时得到了一个描述电子运动的Dirac方程，由于开平方，得到了正负两个完全相反的解。也就是说，这个方程除了可以描述已知的带负电的电子的运动，还描述了除了电荷是正的以外，其他结构、性质与电子一样的反粒子的运动。1932年，物理学家安德森（Anderson）在宇宙射线中得到了正电子，并于1936年获得诺贝尔物理学奖。我国物理学家赵忠尧1930年正在加洲理工学院读研究生，他的试验结果一出来，在他隔壁办公室的安德森立刻意识到试验结果表明一种尚未认知的物质出现了，于是，进一步做工作将获得成功。赵忠尧与诺贝尔奖擦肩而过。
把“复杂问题”转化为“简单问题”的思考——从探索四面的重心问题谈起：
问题1：为什么三角形三条中线的交点称之为三角形的重心，它是如何被发现的？
问题2：如何求一个四面体的重心？
实验：用针头顶着三角形木板的重心，木板保持平衡，这就验证了三角形三条中线的交点确实是三角形的重心。可以说我们对三角形重心的认识也就停留在验证这样的层面上。
至于四面体的重心问题，猜测：四面体的重心应该是四个顶点和相对底面重心连线的交点，但无法像三角形那样可以通过实验进行验证。
数学的重要功能之一就是教给人们认识客观世界的方法。而处理复杂问题的基本方法之一就是尽可能把问题简单化，直至该问题足够简单为止。如寻求四面体的重心问题，首先退而寻找三角形的重心，由于三角形的重心问题仍不够简单明了，我们能否再退到更为明显的问题呢？
设想一根粗细均衡的木棒，它的重心显然位于它的中点，这是一个非常明显的基本事实。抽象成数学命题就是：线段的中点就是该线段的重心。由此我们不难推导出三角形和四面体的重心。
■
我们把解决上述问题的一般思路归纳如下：体—面—线；四面体重心—三角形重心—线段的重心。
上述例子充分揭示了知识的内在联系，使我们对问题的认识由“是什么”提升到“为什么是”的层面上，这是一个由简单到复杂的认知过程。
总之，数学文化离不开数学史，但是不能仅限于数学史。当数学文化的魅力真正渗入教材、进入课堂、融入教学时，数学就会更加平易近人，数学教学就会在文化层面上让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。