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【摘 要】《普通高中数学课程标准（2017年版）》强调：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境启发学生思考，引导学生把握数学内容本质。”本文以“函数零点存在性定理”的教学为例，探讨如何在数学探究式教学中发展学生的数学思维，落实数学核心素养。
【关键词】数学核心素养;数学探究式教学;零点存在性定理
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）34-0146-02
近年来，数学核心素养一直都是数学教育界的热词，数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程;数学逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程;数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决实际问题的过程……不难发现，这六大核心素养都以数学思维为基础。数学思维是数学核心素养最重要的部分，也是发展学生数学素养的根基所在。实质上，抓住了数学思维的培养本质，便抓住了培养数学核心素养的关键点[1]。教师应如何发展学生的数学思维？探究式教学为我们提供了参考。新课改以来，探究式教学逐渐被广大教师和学生所接受，并对数学教学产生了深远的影响。数学探究式教学是指学生在教师的引导下，围绕教学内容，就某些数学概念、规则、问题，以探究形式学习新知识的过程。这个过程包括：设置情境、提出问题、思考、讨论问题结论、给出解释或证明。数学探究式教学强调让学生经历知识发生、发展的过程，使学生获得数学知识背后的数学思想方法，促进学生的数学思维，从而提升数学核心素养。本文将以“函数的零点存在性定理”为例，探究如何将数学核心素养的培养融入数学探究教学中，以供参考。
1 基本情况分析
1.1 教材分析
“函数零点存在性定理”选自人教A版高中数学《必修一》第三章第1节“方程的根与函数的零点”的内容。零点存在性定理给出了函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。由于高中阶段无法给出零点存在性定理的证明，因此，教学中要从具体函数和几何直观入手，充分利用一些特殊函数的图像，给学生搭建“脚手架”，让学生由特殊到一般，由具体到抽象，通过观察比较、归纳推理，直观感知存在零点的条件。零点存在性定理为方程的求解问题提供了新的出路，也为“二分法求方程近似解”奠定了理论基础。
1.2 教学目标
①理解零点存在性定理，能初步运用零点存在性定理确定具体函数存在零点的区间。②经历由特殊到一般、由直观到抽象的数学思维过程，体会数形结合、化归与转化思想，提升数学抽象、直观想象和逻辑推理素养。③通过创设问题情境，激发学生的学习兴趣，培养学生交流、合作的能力。
1.3 教学重难点
重点：函数零点存在性定理的理解与应用。
难点：探究函数零点存在定理的条件。
2 教学过程
2.1 问题提出
求解下列方程的根
生：方程（1）的根为，方程（2）的根为-3，1，最后一个方程不会解。
师：数学史上，人们一直希望得到一般的五次及以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍然没有结果，直到1824年，挪威数学家阿贝尔才成功地证明了五次及以上的方程是没有公式解的。那么这个五次方程是否有根呢？
师：我们可以去研究它所对应的函数是否有零点。一个函数满足什么条件就可以确定有零点存在呢？
设计意图：在本节课的导入部分，大部分教師设计的问题是“判断下列方程根的个数”，与后面的“二分法求方程近似解”的衔接性不足，不能很好的体现数学知识的整体性，不利于学生领悟函数思想。因此，更改为“求根问题”，引导学生从数学知识发展的需要出发，先将“求根问题”转化为“求根的个数问题”，再转化成“求零点个数问题”，对问题进行逐步转化，引发探究的逻辑起点，能激发学生的求知欲，培养学生的逻辑推理。
2.2 探究定理
图1已经标出某地时刻和时刻的温度，假设温度是连续变化的，这段时间内是否一定有某时刻的温度为0℃？
师：在某一段时间内，温度要从零下（零上）的变化到零上（零下），如果温度是连续变化的，那么必定会在某时刻达到0，即温度函数必定有零点。
问题1.能将这个实际问题抽象成数学问题吗？
如果函数在某区间端点处的函数值异号，它在区间内是否一定存在零点。
设计意图：创设问题情境，让学生独立思考、大胆尝试，由特殊到一般，提出猜想，培养学生发散思维和逻辑推理素养;引导学生类比温度函数图像，将实际问题抽象成数学问题，使学生学会用数学语言描述现实世界，培养数学抽象、数学建模能力。
问题2.对其他函数，是否能得到相同的结果？
学生动手作出具体的一次函数、二次函数、对数函数的图像，得到相同的结果。教师用几何画板演示各种函数图像上的动点由轴下方（上方）穿过轴到轴上方（下方）的动态过程。
设计意图：让学生亲自作图、计算验证，归纳得出“异号”规律，培养学生的自主探究能力和逻辑推理能力;同时，利用几何画板演示，使学生直观地感知函数值连续变化规律，由“形”到“数”，由几何直观引发直觉思维，认清数学本质，培养学生的直观想象素养。
问题3.对一般的函数，它在某区间端点处的函数值异号，它在该区间内就一定有零点吗？
生：反比例函数，虽然满足，但它在区间内没有零点，还要加上“图像连续不断”的条件。若一个函数在某个区间端点处的函数值异号、图像连续不断，它在该区间内就一定有零点。 师：你能尝试用数学语言来叙述得到的结论吗？
函数零点的存在性定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，且满足，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
结合函数图像，小组探讨以下问题：
问题4.定理条件中的可以和结论中的可以互换吗？
生：由于，有意义，不能换成;由于是的子集，能换成。
问题5.定理中的“有零点”可以换成“有一个零点”吗？
生：不能，零点可能不止一个。（作图说明）
问题6.若函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且在区间内有零点，一定有吗？
生：不一定，也有可能。（作图说明）
师：零点存在性定理具有一定的局限性，它只能判断“变号零点”，无法判断“不变号零点”。
设计意图：让学生自主构建定理的内容，培养学生的数学归纳能力和数学表达能力，提升学生的数学抽象素养。通过设置问题串、小组讨论交流，引导学生举出“反例”图像，完成对定理的辨析，培养学生思维的严密性、深刻性，提高学生的合作探究能力和直观想象素养。
2.3 应用定理
求函数的零点个数？
设计意图：应用定理加深学生对定理的理解，检验学生对定理的掌握情况。
3 数学核心素养背景下探究式教学的思考
3.1 巧设问题情境，促进思维深度参与
问题是数学的心脏，问题是思维的动力，没有问题就没有思维。数学探究围绕问题而展开，问题是数学探究的起点，它为数学探究中的思维活动指明方向。因此，在探究式教学中，创设合适的问题情境显得尤为重要。与传统教学相比，探究式教学中的问题应更加生活化、更具有层次性和开放性，促使学生主动地、有序地、充分地参与数学思维活动，进而提升数学核心素养。
3.2 经历探索过程，实现知识“再创造”
弗赖登塔尔指出：学习数学唯一正确的方法是实行‘再创造’。也就是由学生本人去发现或创造要学的数学知识，只有通过自己的“再创造”而获得的知识才能真正掌握和靈活运用。数学探究的核心就是学生亲自探索与发现的过程[2]。因此，教师在开展探究式教学时，应为学生营造积极参与的氛围，给学生充足的时间和空间，让学生亲身经历知识的发生、发展过程，使学生掌握数学知识技能的同时，逐渐领悟数学问题背后的数学思想方法，积累数学基本活动经验，从而提升数学核心素养。
【参考文献】
[1]沈良.试论“知识·探究·思维”路径下学生核心素养的培养[J].数学通报，2017（10）.
[2]宋卫东，方厚石.数学探究贵在发现性探索[J].数学通报，2018（1）.
【关键词】数学核心素养;数学探究式教学;零点存在性定理
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）34-0146-02
近年来，数学核心素养一直都是数学教育界的热词，数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程;数学逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程;数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决实际问题的过程……不难发现，这六大核心素养都以数学思维为基础。数学思维是数学核心素养最重要的部分，也是发展学生数学素养的根基所在。实质上，抓住了数学思维的培养本质，便抓住了培养数学核心素养的关键点[1]。教师应如何发展学生的数学思维？探究式教学为我们提供了参考。新课改以来，探究式教学逐渐被广大教师和学生所接受，并对数学教学产生了深远的影响。数学探究式教学是指学生在教师的引导下，围绕教学内容，就某些数学概念、规则、问题，以探究形式学习新知识的过程。这个过程包括：设置情境、提出问题、思考、讨论问题结论、给出解释或证明。数学探究式教学强调让学生经历知识发生、发展的过程，使学生获得数学知识背后的数学思想方法，促进学生的数学思维，从而提升数学核心素养。本文将以“函数的零点存在性定理”为例，探究如何将数学核心素养的培养融入数学探究教学中，以供参考。
1 基本情况分析
1.1 教材分析
“函数零点存在性定理”选自人教A版高中数学《必修一》第三章第1节“方程的根与函数的零点”的内容。零点存在性定理给出了函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。由于高中阶段无法给出零点存在性定理的证明，因此，教学中要从具体函数和几何直观入手，充分利用一些特殊函数的图像，给学生搭建“脚手架”，让学生由特殊到一般，由具体到抽象，通过观察比较、归纳推理，直观感知存在零点的条件。零点存在性定理为方程的求解问题提供了新的出路，也为“二分法求方程近似解”奠定了理论基础。
1.2 教学目标
①理解零点存在性定理，能初步运用零点存在性定理确定具体函数存在零点的区间。②经历由特殊到一般、由直观到抽象的数学思维过程，体会数形结合、化归与转化思想，提升数学抽象、直观想象和逻辑推理素养。③通过创设问题情境，激发学生的学习兴趣，培养学生交流、合作的能力。
1.3 教学重难点
重点：函数零点存在性定理的理解与应用。
难点：探究函数零点存在定理的条件。
2 教学过程
2.1 问题提出
求解下列方程的根
生：方程（1）的根为，方程（2）的根为-3，1，最后一个方程不会解。
师：数学史上，人们一直希望得到一般的五次及以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍然没有结果，直到1824年，挪威数学家阿贝尔才成功地证明了五次及以上的方程是没有公式解的。那么这个五次方程是否有根呢？
师：我们可以去研究它所对应的函数是否有零点。一个函数满足什么条件就可以确定有零点存在呢？
设计意图：在本节课的导入部分，大部分教師设计的问题是“判断下列方程根的个数”，与后面的“二分法求方程近似解”的衔接性不足，不能很好的体现数学知识的整体性，不利于学生领悟函数思想。因此，更改为“求根问题”，引导学生从数学知识发展的需要出发，先将“求根问题”转化为“求根的个数问题”，再转化成“求零点个数问题”，对问题进行逐步转化，引发探究的逻辑起点，能激发学生的求知欲，培养学生的逻辑推理。
2.2 探究定理
图1已经标出某地时刻和时刻的温度，假设温度是连续变化的，这段时间内是否一定有某时刻的温度为0℃？
师：在某一段时间内，温度要从零下（零上）的变化到零上（零下），如果温度是连续变化的，那么必定会在某时刻达到0，即温度函数必定有零点。
问题1.能将这个实际问题抽象成数学问题吗？
如果函数在某区间端点处的函数值异号，它在区间内是否一定存在零点。
设计意图：创设问题情境，让学生独立思考、大胆尝试，由特殊到一般，提出猜想，培养学生发散思维和逻辑推理素养;引导学生类比温度函数图像，将实际问题抽象成数学问题，使学生学会用数学语言描述现实世界，培养数学抽象、数学建模能力。
问题2.对其他函数，是否能得到相同的结果？
学生动手作出具体的一次函数、二次函数、对数函数的图像，得到相同的结果。教师用几何画板演示各种函数图像上的动点由轴下方（上方）穿过轴到轴上方（下方）的动态过程。
设计意图：让学生亲自作图、计算验证，归纳得出“异号”规律，培养学生的自主探究能力和逻辑推理能力;同时，利用几何画板演示，使学生直观地感知函数值连续变化规律，由“形”到“数”，由几何直观引发直觉思维，认清数学本质，培养学生的直观想象素养。
问题3.对一般的函数，它在某区间端点处的函数值异号，它在该区间内就一定有零点吗？
生：反比例函数，虽然满足，但它在区间内没有零点，还要加上“图像连续不断”的条件。若一个函数在某个区间端点处的函数值异号、图像连续不断，它在该区间内就一定有零点。 师：你能尝试用数学语言来叙述得到的结论吗？
函数零点的存在性定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，且满足，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
结合函数图像，小组探讨以下问题：
问题4.定理条件中的可以和结论中的可以互换吗？
生：由于，有意义，不能换成;由于是的子集，能换成。
问题5.定理中的“有零点”可以换成“有一个零点”吗？
生：不能，零点可能不止一个。（作图说明）
问题6.若函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且在区间内有零点，一定有吗？
生：不一定，也有可能。（作图说明）
师：零点存在性定理具有一定的局限性，它只能判断“变号零点”，无法判断“不变号零点”。
设计意图：让学生自主构建定理的内容，培养学生的数学归纳能力和数学表达能力，提升学生的数学抽象素养。通过设置问题串、小组讨论交流，引导学生举出“反例”图像，完成对定理的辨析，培养学生思维的严密性、深刻性，提高学生的合作探究能力和直观想象素养。
2.3 应用定理
求函数的零点个数？
设计意图：应用定理加深学生对定理的理解，检验学生对定理的掌握情况。
3 数学核心素养背景下探究式教学的思考
3.1 巧设问题情境，促进思维深度参与
问题是数学的心脏，问题是思维的动力，没有问题就没有思维。数学探究围绕问题而展开，问题是数学探究的起点，它为数学探究中的思维活动指明方向。因此，在探究式教学中，创设合适的问题情境显得尤为重要。与传统教学相比，探究式教学中的问题应更加生活化、更具有层次性和开放性，促使学生主动地、有序地、充分地参与数学思维活动，进而提升数学核心素养。
3.2 经历探索过程，实现知识“再创造”
弗赖登塔尔指出：学习数学唯一正确的方法是实行‘再创造’。也就是由学生本人去发现或创造要学的数学知识，只有通过自己的“再创造”而获得的知识才能真正掌握和靈活运用。数学探究的核心就是学生亲自探索与发现的过程[2]。因此，教师在开展探究式教学时，应为学生营造积极参与的氛围，给学生充足的时间和空间，让学生亲身经历知识的发生、发展过程，使学生掌握数学知识技能的同时，逐渐领悟数学问题背后的数学思想方法，积累数学基本活动经验，从而提升数学核心素养。
【参考文献】
[1]沈良.试论“知识·探究·思维”路径下学生核心素养的培养[J].数学通报，2017（10）.
[2]宋卫东，方厚石.数学探究贵在发现性探索[J].数学通报，2018（1）.