单位向量作为一种特殊的向量，有着一些优美的特性. 对一些高考题，若能根据其特点构造单位向量来解答，会使解题思维直观形象、运算得到优化，会发现解题境界别有洞天，从而提升解题思维能力.
　　
　　 一、利用单位向量和的几何表示来解决与角平分线相关的问题. 
　　
　　例1 若θ∈［π 4,π 2］，
　　
　　sin2θ=37 8,
　　则sinθ=( )
　　
　　(A) 3 5 (B) 4 5 (C)
　　
　　7 4 (D) 3 4
　　
　　 解 ：因为θ∈［π 4,π 2］，所以
　　
　　2θ∈［π 2,π］.
　　在坐标系内构建单位圆（如图1），
　　令∠AOP=θ,∠AOQ=2θ.
　　由sin2θ=37 8，
　　
　　2θ∈［π 2,π］,
　　结合三角
　　函数的定义得点Q(-1 8,37 8 ).
　　OQ=(-1 8,37 8
　　),OA=(1,0),OQ+OA
　　=(-7 8,
　　
　　37 8
　　)=7 32
　　(7 4
　　,3 4),
　　
　　向量OQ+OA与单位向量
　　OP同向，所以
　　
　　OP=(7 4,3 4),
　　由三角函数的定义得sinθ=3 4,
　　故选(D).
　　
　　例2 已知点A(3,1)，B(0,0),C(3,0),设
　　∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有
　　
　　BC=λCE，其中λ等于（ ）
　　
　　(A) 2 (B) 1 2 (C) -3 (D) -1 3
　　
　　 解 ：由与
　　
　　AB=
　　(-3,-1)
　　同向的单位向量
　　
　　e1=
　　(-3 2,
　　-1 2)
　　，与
　　
　　AC=(0,-1)同向的单位向量
　　e1=(0,-1)，可知
　　
　　AE的方向向量为e1+e=
　　
　　(-3 2,
　　-3 2).
　　
　　一方面设AE=μ(-3 2,
　　-3 2).
　　
　　另一方面，AE=AC+CE=
　　
　　AC+1 λBC=(0,-1)+
　　
　　1 λ(3,0)=(3 λ,-1).
　　所以μ(-3 2,-3 2)=
　　
　　(3 λ,-1)，于是有
　　
　　-3 2μ=
　　3 λ,
　　-3 2μ=-1.
　　
　　解得λ=-3.故选(C).
　　
　　
　　 二、将单位向量与三角函数相结合,简化与旋转有关的问题的运算 
　　
　　 例3 在平面直角坐标系中，点O(0,0),P(6,8)，将向量
　　
　　OP绕点O按逆时针方向旋转
　　3π 4后得向量OQ，则点Q得坐标是（ ）
　　
　　(A) (-72,-2) (B) (-72
　　,-2)
　　(C) (-46,-2)〖DW〗(D) (-46,-2)
　　
　　 解 : 由题意知
　　
　　|OP|=|OQ|=10.
　　设OP与x轴的正方向构成的角为α，
　　则OP、OQ同向的单位向量分别为
　　e1=(cosα,
　　sinα)、e2=［
　　
　　cos(α+3π 4),sin(α+3π 4 )］.
　　于是有
　　
　　OP=10e1=(10cosα,10sinα)=(6,8),
　　10cosα=6,
　　10sinα.
　　解得
　　
　　cosα=3 5,
　　sinα=4 5.
　　
　　
　　OQ=10e2=［10cos(α+3π 4),10sin(α+3π 4)
　　］=(-52cosα-52sinα,-52
　　sinα+52cosα)=(-72,-2).
　　
　　所以点Q的坐标为B(-72,-2).故选(B).
　　
　　例4如图2，在平
　　面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在
　　(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在轴上沿正
　　向滚动到圆心位于(2,1)时，
　　OP的坐标为 .
　　
　　 解： 如图3，令A(0,1),B(2,1)则
　　
　　AO=(0,-1).
　　设AO=(cosθ,sinθ),则
　　
　　cosθ=0,sinθ=-1.
　　圆心从点A移至点A′,点P在单位圆上顺时针转过的长度为2，于是有
　　∠HBP=2
　　.
　　所以BP=
　　(cos(θ-2),sin(θ-2))=(-sin2,-cos2).
　　
　　
　　又因B(2,1),
　　故P(2-sin2,1-cos2).
　　所以OP=(2-sin2,1-cos2).
　　
　　例5过抛物线y=ax2(a>0)的焦点作一直线交抛物线于P、Q点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则
　　
　　1 p+1 q等于（）
　　
　　(A) 2a(B) 1 2a(C) 4a(D) 4 a
　　
　　 解 ：抛物线 的焦点为 ，准线为 .
　　设与 同向的单位向量为 , 则与 同向的单位向量为 .
　　于是有
　　由抛物线的定义得 ,
　　 .
　　于是得,
　　 .
　　所以.
　　故选C.