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摘要： 数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究"以形助数"，但"以数解形"在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查，且占比例较大。
关键词：数形结合；解题；应用；高考
【中图分类号】G633.6
数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一，高中数学新教材之中的每一章节内容都有以数形结合的问题形式出现，能很好地培养和发展学生的数形结合思想。新教材中渗透这一方法，对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法明显带有指导性作用，通过对问题进行正确的分析、比较、合理联想，训练学生思维、拓宽视野，逐步形成正确的解题观；还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。下面举例说明数形结合思想在几个模块中的应用。
一、 数形结合解决集合问题
在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来解决集合的运算，使问题得以简化，运算快捷明了。
（2010辽宁理数）已知A，B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集，且A∩B={3}，（B∩A）={9}，则A=（ ）
A .{1，3} B. {3，7，9} C. {3，5，9} D. {3，9}
解析：根据题目所提供的条件，用Venn图（如右图）。由图可知A={3，9}
【点评】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的 运算，但通过直接运算不易得出结果，利用用数形结合思想，以形代数，把抽象化直观，轻松的解决。
二、用数形结合解决不等式和方程问题
1、用数形结合解不等式
（07全国Ⅱ-6）不等式>0的结果是（ ）
A.（-2，1） B.（2，+）
C.（-2，1） （2，+） D.（-，-2） （1，+）
解：原不等式可等价化为>0
在数轴上利用"穿根法"表示如下：
所以原不等式的解为（-2，1） （2，+）
2、利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题.
例、为何值时，方程的两根在之内？
解析：显然，我们可从已知方程联想到
相应的二次函数的草图，从
图像上我们可以看出，要使抛物线与轴的两个
交点在之间，必须满足条件：即
从而可解得的取值范围为且
三、数形结合解决函数问题
1、利用数形结合解决函数性质问题
（07重庆-9）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+）上为减函数.且函数y=f（x+8）为偶函数，则（ ）
A.f（6）>f（7） B.f（6）>f（9） C.f（7）>f（9） D.f（7）>f（※）.
解：∵y=f（x+8）为偶函数.
∴f（-x+8）=f（x+8）.即f（8-x）=f（8+x）
所以函数图象，关于x=8对称，又x∈（8，+）时，f（x）单调递减，则x∈（-，8），f（x）单调递增，作出示意图：
∴f（7）>f（10）
∴选（D）
2、利用数形结合解决函数的零点问题
（2012天津理4）函数在区间内的零点个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【解析】解法1：因为，，即且函数在内连续不断，故在内的零点个数是1.
解法2：设，，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.
【点评】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.
3、利用数形结合解决方程的根问题
（2002年江西）方程的实数根的个数
解析：处理问题时，将方程的根问题看作两个函数图象的交点问题.
构造两个函数和，并在同个一坐标系里画出函数图象。从图（下图）中的到3个交点，也就是说此方程有3个实数根.
【点评】此方程是一个超越方程，用代数方法求解该方程是很困难的用数形结合，方程的解就是函数图象的交点的横坐标，因此这两个函数的图象交点的个数即为方程解的个数，突出了对转化思想和数形结合思想的考查
四、利用数形结合解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用.
（2010上海文数）满足线性约束条件的目标函数的最大值是（ ）
A .1. B. . C.2. D.3.
解析：根据线性约束条件作出平面区域（ 如上图）
把目标函数转化为直线，将最值问题转化为截距问题，根据图象可知，当直线过点B（1，1）时，z有最大值，最大值为2
【點评】本题如果通过代数方法，由于满足不等式组的解有无数多个，根本无法确定最值，利用数形结合思想.以形助数， 使问题化难为易、化繁为简.线性规划是借助平面区域表示直线，不等式等代数表达式，将目标函数的最值问题转化为直线的截距，斜率和两点间距离等问题，最终借助图形的性质解决问题.
五、利用数形结合解决解析几何问题
【例】 如图所示，已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若F1，F2，P是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）.
解：以O为圆心以OF1为半径画圆，可知此圆与椭圆无交点，则△F1F2P中∠PF1F2（或∠PF2F1）为直角，如此求出P点坐标即得yp=±，故选D.
【点评】 本题以作图直观判断为突破口，直觉与逻辑推理互动，化解析几何问题为平面几何问题，化计算为判断，在理性的高度认识问题.
从以上几个例子可以看出，在数学中只要我们注意运用数形转化思想，既可增加学生们对数学的兴趣，同时又能提高对数学问题的理解力和解题能力，也是提高数学素质不可缺少的因素之一。
总之，要让学生真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果教师只讲解几个典型习题并把学生讲懂了，就认为学生领会了数形结合这一思想方法，是偏面的。教师要有做好长期渗透的思想，平时要求学生认真上好每一堂课，学好新教材的系统知识，掌握各种函数的图像特点，理解各种几何图形的性质。教师讲题时，要引导学生根据问题的具体情况，多角度的观察和理解问题，揭示问题的本质联系，利用"数"的准确澄清"形"的模糊，用"形"的直观启迪"数"的计算，从而来解决问题。教学中要紧紧抓住数形转化的策略，通过多渠道来沟通知识间的联系，激发学生学习兴趣，并及时总结数形结合在解题中运用的规律性，来训练学生的思维能力，提高理解和运用的水平。只有这样，不断提高、深化数形结合运用的能力。
参考文献：
杨明：浅谈数学思想方法在解题中的应用，河北：河北理科教学研究 2008，03，39-40.
汤继源 《例析数形结合思想在高考解题中的应用》 教育与教师 2010.10
任志鸿 《十年高考分类解析与应试策略数学》 2010.6
关键词：数形结合；解题；应用；高考
【中图分类号】G633.6
数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一，高中数学新教材之中的每一章节内容都有以数形结合的问题形式出现，能很好地培养和发展学生的数形结合思想。新教材中渗透这一方法，对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法明显带有指导性作用，通过对问题进行正确的分析、比较、合理联想，训练学生思维、拓宽视野，逐步形成正确的解题观；还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。下面举例说明数形结合思想在几个模块中的应用。
一、 数形结合解决集合问题
在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来解决集合的运算，使问题得以简化，运算快捷明了。
（2010辽宁理数）已知A，B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集，且A∩B={3}，（B∩A）={9}，则A=（ ）
A .{1，3} B. {3，7，9} C. {3，5，9} D. {3，9}
解析：根据题目所提供的条件，用Venn图（如右图）。由图可知A={3，9}
【点评】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的 运算，但通过直接运算不易得出结果，利用用数形结合思想，以形代数，把抽象化直观，轻松的解决。
二、用数形结合解决不等式和方程问题
1、用数形结合解不等式
（07全国Ⅱ-6）不等式>0的结果是（ ）
A.（-2，1） B.（2，+）
C.（-2，1） （2，+） D.（-，-2） （1，+）
解：原不等式可等价化为>0
在数轴上利用"穿根法"表示如下：
所以原不等式的解为（-2，1） （2，+）
2、利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题.
例、为何值时，方程的两根在之内？
解析：显然，我们可从已知方程联想到
相应的二次函数的草图，从
图像上我们可以看出，要使抛物线与轴的两个
交点在之间，必须满足条件：即
从而可解得的取值范围为且
三、数形结合解决函数问题
1、利用数形结合解决函数性质问题
（07重庆-9）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+）上为减函数.且函数y=f（x+8）为偶函数，则（ ）
A.f（6）>f（7） B.f（6）>f（9） C.f（7）>f（9） D.f（7）>f（※）.
解：∵y=f（x+8）为偶函数.
∴f（-x+8）=f（x+8）.即f（8-x）=f（8+x）
所以函数图象，关于x=8对称，又x∈（8，+）时，f（x）单调递减，则x∈（-，8），f（x）单调递增，作出示意图：
∴f（7）>f（10）
∴选（D）
2、利用数形结合解决函数的零点问题
（2012天津理4）函数在区间内的零点个数是
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【解析】解法1：因为，，即且函数在内连续不断，故在内的零点个数是1.
解法2：设，，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.
【点评】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.
3、利用数形结合解决方程的根问题
（2002年江西）方程的实数根的个数
解析：处理问题时，将方程的根问题看作两个函数图象的交点问题.
构造两个函数和，并在同个一坐标系里画出函数图象。从图（下图）中的到3个交点，也就是说此方程有3个实数根.
【点评】此方程是一个超越方程，用代数方法求解该方程是很困难的用数形结合，方程的解就是函数图象的交点的横坐标，因此这两个函数的图象交点的个数即为方程解的个数，突出了对转化思想和数形结合思想的考查
四、利用数形结合解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用.
（2010上海文数）满足线性约束条件的目标函数的最大值是（ ）
A .1. B. . C.2. D.3.
解析：根据线性约束条件作出平面区域（ 如上图）
把目标函数转化为直线，将最值问题转化为截距问题，根据图象可知，当直线过点B（1，1）时，z有最大值，最大值为2
【點评】本题如果通过代数方法，由于满足不等式组的解有无数多个，根本无法确定最值，利用数形结合思想.以形助数， 使问题化难为易、化繁为简.线性规划是借助平面区域表示直线，不等式等代数表达式，将目标函数的最值问题转化为直线的截距，斜率和两点间距离等问题，最终借助图形的性质解决问题.
五、利用数形结合解决解析几何问题
【例】 如图所示，已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若F1，F2，P是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）.
解：以O为圆心以OF1为半径画圆，可知此圆与椭圆无交点，则△F1F2P中∠PF1F2（或∠PF2F1）为直角，如此求出P点坐标即得yp=±，故选D.
【点评】 本题以作图直观判断为突破口，直觉与逻辑推理互动，化解析几何问题为平面几何问题，化计算为判断，在理性的高度认识问题.
从以上几个例子可以看出，在数学中只要我们注意运用数形转化思想，既可增加学生们对数学的兴趣，同时又能提高对数学问题的理解力和解题能力，也是提高数学素质不可缺少的因素之一。
总之，要让学生真正掌握数形结合思想的精髓，必须有雄厚的基础知识和熟练的基本技巧，如果教师只讲解几个典型习题并把学生讲懂了，就认为学生领会了数形结合这一思想方法，是偏面的。教师要有做好长期渗透的思想，平时要求学生认真上好每一堂课，学好新教材的系统知识，掌握各种函数的图像特点，理解各种几何图形的性质。教师讲题时，要引导学生根据问题的具体情况，多角度的观察和理解问题，揭示问题的本质联系，利用"数"的准确澄清"形"的模糊，用"形"的直观启迪"数"的计算，从而来解决问题。教学中要紧紧抓住数形转化的策略，通过多渠道来沟通知识间的联系，激发学生学习兴趣，并及时总结数形结合在解题中运用的规律性，来训练学生的思维能力，提高理解和运用的水平。只有这样，不断提高、深化数形结合运用的能力。
参考文献：
杨明：浅谈数学思想方法在解题中的应用，河北：河北理科教学研究 2008，03，39-40.
汤继源 《例析数形结合思想在高考解题中的应用》 教育与教师 2010.10
任志鸿 《十年高考分类解析与应试策略数学》 2010.6