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问题引出：人教版的两道习题
1、人教版高二上册第31页复习参考题六B组第6题：
设a,b,c为△ABC的三条边，求证
不妨先看一下教学参考书中的解法（分析法）：
要证原不等式成立，只需证 ，即
也就是 成立。因为a,b,c为△ABC的三条边，
所以 即
从而 成立，所以原不等式成立。
分析与另解：分析法解此题运算比较繁琐，而且一路提取因式，并不简单。此题可利用题设条件构造相应的不等式再利用有关性质解题：
构造 分别为△ABC中 的对边，由余弦定理 三式相加得：
，因为 为△ABC的内角，所以 ，则 ，命题得证。
数学教学的核心任务是培养学生的思维能力，而培养学生的创新思想是数学教学改革中的一项重要目标。创造性思维的培养并不是一朝一夕的事，也不是一章一节之内容，而是应该长期坚持，立足课堂主战场，注重教材中潜在内涵的挖掘，引导学生的科学研究的方式去探索，标新立异。
比如在一些不等式的证明中，有些看似简单，但学生却无从下手，很难找到切入点，几种常用证法一一尝试，均难以凑效。这时不妨教会学生变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，在已学过的知识的基础上进行广泛的联想，构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，既能达到简化证明的目的，又能培养学生创新思维。下面通过举例加以说明。
一、构造向量，利用向量的有关运算和性质证明不等式
例1．求证：
简析与证明：不等式左边的特点，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成a =(1－y , x+y－3 , 2x+y－6)模的平方，又 |a|·|b|≥a·b ,为使 a·b为常数，根据待定系数法又可构造b= (1 , 2 ，-1)
三、构造几何图形，从数型结合的角度出发通过几何图像的直观性证明不等式
例3．已知：a>0、b>0、c>0 ,求证： 当且仅当 时取等号。
简析与证明：从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理，于是可构造图形：
作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60° 如图
则∠AOC＝120°，AB= ，BC= ,AC=
由几何知识可知：AB＋BC≥AC
∴ + ≥
当且仅当A、B、C三点共线时等号成立，此时有
，即ab+bc=ac
故当且仅当 时取等号。
从以上例题可以看到构造法解题具有其它方法所没有的优越性。优美﹑自然的构造，能够使学生强烈地感受到数学的美妙与神奇，给学生的创新思维提供了很大的空间，有利于激发学生探求的激情和创新的欲望。
需要注意的是，构造的目的是为了解题的“简捷”性，盲目的构造只能使解题越来越复杂。所以不是每种题型都能用构造法，这不可能也不符合实际。
证明不等式的常规方法有很多：比较法、公式法、放缩法、换元法、反证法、综合法、分析法、数学归纳法等 。我们不能忽略这些常规方法而陷入“为了构造而构造”的泥沼之中。然而当我们用常规方法确不能使问题得证时，不妨用构造法来试试。
总之解题时，能不能构造，什么时候构造，这都需要学生不断地探索和总结。 这也需要教师能够在平常的教学中更有意识地多多培养学生的探索的精神和创新的能力。
（浙江省富阳市新登中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
1、人教版高二上册第31页复习参考题六B组第6题：
设a,b,c为△ABC的三条边，求证
不妨先看一下教学参考书中的解法（分析法）：
要证原不等式成立，只需证 ，即
也就是 成立。因为a,b,c为△ABC的三条边，
所以 即
从而 成立，所以原不等式成立。
分析与另解：分析法解此题运算比较繁琐，而且一路提取因式，并不简单。此题可利用题设条件构造相应的不等式再利用有关性质解题：
构造 分别为△ABC中 的对边，由余弦定理 三式相加得：
，因为 为△ABC的内角，所以 ，则 ，命题得证。
数学教学的核心任务是培养学生的思维能力，而培养学生的创新思想是数学教学改革中的一项重要目标。创造性思维的培养并不是一朝一夕的事，也不是一章一节之内容，而是应该长期坚持，立足课堂主战场，注重教材中潜在内涵的挖掘，引导学生的科学研究的方式去探索，标新立异。
比如在一些不等式的证明中，有些看似简单，但学生却无从下手，很难找到切入点，几种常用证法一一尝试，均难以凑效。这时不妨教会学生变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，在已学过的知识的基础上进行广泛的联想，构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，既能达到简化证明的目的，又能培养学生创新思维。下面通过举例加以说明。
一、构造向量，利用向量的有关运算和性质证明不等式
例1．求证：
简析与证明：不等式左边的特点，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成a =(1－y , x+y－3 , 2x+y－6)模的平方，又 |a|·|b|≥a·b ,为使 a·b为常数，根据待定系数法又可构造b= (1 , 2 ，-1)
三、构造几何图形，从数型结合的角度出发通过几何图像的直观性证明不等式
例3．已知：a>0、b>0、c>0 ,求证： 当且仅当 时取等号。
简析与证明：从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理，于是可构造图形：
作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60° 如图
则∠AOC＝120°，AB= ，BC= ,AC=
由几何知识可知：AB＋BC≥AC
∴ + ≥
当且仅当A、B、C三点共线时等号成立，此时有
，即ab+bc=ac
故当且仅当 时取等号。
从以上例题可以看到构造法解题具有其它方法所没有的优越性。优美﹑自然的构造，能够使学生强烈地感受到数学的美妙与神奇，给学生的创新思维提供了很大的空间，有利于激发学生探求的激情和创新的欲望。
需要注意的是，构造的目的是为了解题的“简捷”性，盲目的构造只能使解题越来越复杂。所以不是每种题型都能用构造法，这不可能也不符合实际。
证明不等式的常规方法有很多：比较法、公式法、放缩法、换元法、反证法、综合法、分析法、数学归纳法等 。我们不能忽略这些常规方法而陷入“为了构造而构造”的泥沼之中。然而当我们用常规方法确不能使问题得证时，不妨用构造法来试试。
总之解题时，能不能构造，什么时候构造，这都需要学生不断地探索和总结。 这也需要教师能够在平常的教学中更有意识地多多培养学生的探索的精神和创新的能力。
（浙江省富阳市新登中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文