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[摘要] 概率与统计在课改后成为初中数学的一个重要分支,学生在统计与概率的学习中有较多的错误认识和理解偏颇,造成学习上的障碍。教师应该在这部分教学中,充分调动学生的积极性,强调学生的主体作用,明确基本原理,注重思维过程的分析,让学生在问题解决的过程中不断反思探索规律,体验成功,从而提升学生的思维能力。
[关键词] 概率与统计 新课改 思维过程 思维能力
一、现实背景
浙教版新教材大大地加强了统计与概率的内容与教学要求,这是因为在当今社会中,统计和概率起着越来越重要的作用。掌握统计与概率的思想方法和基本知识成为现代社会公民必需具备的素养;如何学好和教好统计与概率是广大教师所面临的一项新的挑战。概率与统计在课改后成为初中数学的一个重要分支,学生在统计与概率的学习中有较多的错误认识和理解偏颇,造成学习上的障碍。研究如何组织合理的教学是非常必要的,教师应该在教学方面:(1)用活动的方法有效开展教学;(2)给学生更多练习、实验的时间。因而在这部分教学中,应充分调动学生的积极性,强调学生的主体作用,明确基本原理,注重思维过程的分析,让学生在问题解决的过程中不断反思探索规律,体验成功,从而提升学生的思维能力。
二、课堂设计与实录片断
本节课的教学目标是体验概率计算在生产生活和科学研究中的广泛应用,能用初步的概率知识解决中奖预测、人寿保险等方面的问题。整堂课紧紧围绕四个主要例题,层层递进,让学生能灵活使用树状图和列表格的方法计算生活中的概率。
例1.九年级三班同学做了关于私家车乘坐人数的统计,在100辆私家车中,统计结果如下表:
根据以上结果估计抽查一辆私家车而它载有两个以上乘客的概率是多少?
该题意在使学生熟悉等可能事件的概率公式。但过程中出现插曲:
学生A:老师,这道题的概率为什么不是?
学生B:本题考察对象是私家车而不是人,样本容量是100,所以分母应该是100.
例2.在我校举办的“十佳歌手”比赛中,甲,乙,丙三位评委对选手的综合表现,分别给出“待定”和“通过”的结论:
(1)写出三位评委给出A选手的所有可能结果。
(2)对于选手A,只有甲,乙两位评委给出相同结论的概率是多少?
(3)对于选手A,至少有两个通过,才能直接晋级,请问选手A晋级的概率是多少?
该题考查学生能否正确使用树状图解决概率问题。
例3.保险公司的生命表的问题。生命表又称死亡表,是人寿保险费率计算的主要依据,如下图是1996年6月中国人民银行发布的中国人寿保险经验生命表,(1990~1993年)的部分摘录,根据表格估算下列概率(结果保留4个有效数字):
(1)某人今年61岁,他当年死亡的概率;
(2)某人今年31岁,他活到62岁的概率。
例4.有一种游戏,班级里每位同学及班主任的手中都有1点,2点,3点三张扑克,游戏规则一:每位同学任意抽一张,班主任老师也抽一张,如果同学抽到的点数和老师抽到的点数相同,那么这位同学就获得一份小礼物;游戏规则二:每位同学任意抽两张,班主任老师也抽两张,如果同学抽到的这两张点数和老师抽到的两张点数相同,那么这位同学获得一份小礼物。问:
(1)游戏规则一,每位同学获得小礼物的概率是多少?
(2)游戏规则二,每位同学获得小礼物的概率是多少?
本题的第一问,同学们利用树状图很快解决了,但是第二问经过小组讨论,方法层出不穷,同学们争先恐后地讲出了自己的方法,有些方法让人意外!
生1:如果同学抽到的这两张点数和老师抽到的两张点数相同,那么没有抽到的那张扑克的点数也相同。这样问题就转化为每位同学任意抽两张,班主任老师也抽两张,如果同学没有抽到的那张点数和老师没有抽到的相同,那么这位同学就可以获得一份小礼物。这样游戏规则二的概率和游戏规则一的概率完全相同。
师:这位同学能够从反面来思考问题,找出了游戏规则二的等价条件,并巧妙地转化为游戏规则一的情况,非常好!
生2:刚才那位同学的方法有着很大的局限性,如果扑克的张数超过3张,规则一和二的答案就不一样。现在我以1,2,3,4四张扑克为例,游戏规则一的概率为14,游戏规则二的概率我是这样计算的:假如老师抽到的扑克为1和2,我先抽到1的概率为14再抽到2的概率为13,这样概率就为14×13=112;同理先抽2再抽1的概率也为112,两者的和16就是学生获得小礼物的概率。
师:不错!这位同学利用了概率中的乘法原理和加法原理,这是高中概率学习的重点(同学们响起了雷鸣般的掌声)。
生3:老师,我的方法和生2的比较接近。我也以1,2,3,4四张扑克为例,假如老师抽到的扑克为1和2,我抽到1或2的概率为24,再抽一张和老师相同的概率为13,抽到两张扑克点数和老师相同的概率为24×13=16.
师:很好,你能想到这样的方法确实动了一番脑筋,老师相信只要肯动脑筋就一定会有很大的收获,你的方法是一种很好的计算概率的方法,它避免考虑抽到1和2的先后顺序,把生2的两种情况归结为一种情况考虑,是在生2基础上的再上一层楼。
生4:我班的绝大部分同学没有学过乘法原理和加法原理,如何利用已学过的概率知识来解决本题呢?我想出了这样一种方法:我以1,2,3三张扑克为例,任意抽两张,先把扑克分成(1,2)(1,3)(2,3)三种情况,抽到这三种情况中的任意一种都是可能的,然后列出树状图,就可以很轻松地解决本题了。四张扑克也可以用类似的方法来解决。
师:太棒了,生4先将数据巧妙地捆绑在一起,变成了另一种并且等价于游戏规则二的等可能事件,然后利用初中概率计算的主要方法列树状图,很快地解决了本题。
生5:初中学习概率的基本方法是列表法或树状图法,这道题目我们可以采取最基本的列表或树状图来解。以1,2,3,4四张扑克为例,学生抽到两张扑克的情况如下:
假设老师抽到的是1,2这两张扑克,则学生和老师相同的概率为212=16.
该学生的回答让我大吃一惊,他用到的是初中阶段一种最基本的解决概率问题的方法,我在备课时想到了高中的加法原理、乘法原理和先将数据分组再利用树状图来解决,然而却忽略了最基本的方法。他的方法给了我很大的启发,要用已经学过的知识解决问题,从最基本的方法入手,最基本的方法也是最好的方法。
[关键词] 概率与统计 新课改 思维过程 思维能力
一、现实背景
浙教版新教材大大地加强了统计与概率的内容与教学要求,这是因为在当今社会中,统计和概率起着越来越重要的作用。掌握统计与概率的思想方法和基本知识成为现代社会公民必需具备的素养;如何学好和教好统计与概率是广大教师所面临的一项新的挑战。概率与统计在课改后成为初中数学的一个重要分支,学生在统计与概率的学习中有较多的错误认识和理解偏颇,造成学习上的障碍。研究如何组织合理的教学是非常必要的,教师应该在教学方面:(1)用活动的方法有效开展教学;(2)给学生更多练习、实验的时间。因而在这部分教学中,应充分调动学生的积极性,强调学生的主体作用,明确基本原理,注重思维过程的分析,让学生在问题解决的过程中不断反思探索规律,体验成功,从而提升学生的思维能力。
二、课堂设计与实录片断
本节课的教学目标是体验概率计算在生产生活和科学研究中的广泛应用,能用初步的概率知识解决中奖预测、人寿保险等方面的问题。整堂课紧紧围绕四个主要例题,层层递进,让学生能灵活使用树状图和列表格的方法计算生活中的概率。
例1.九年级三班同学做了关于私家车乘坐人数的统计,在100辆私家车中,统计结果如下表:
根据以上结果估计抽查一辆私家车而它载有两个以上乘客的概率是多少?
该题意在使学生熟悉等可能事件的概率公式。但过程中出现插曲:
学生A:老师,这道题的概率为什么不是?
学生B:本题考察对象是私家车而不是人,样本容量是100,所以分母应该是100.
例2.在我校举办的“十佳歌手”比赛中,甲,乙,丙三位评委对选手的综合表现,分别给出“待定”和“通过”的结论:
(1)写出三位评委给出A选手的所有可能结果。
(2)对于选手A,只有甲,乙两位评委给出相同结论的概率是多少?
(3)对于选手A,至少有两个通过,才能直接晋级,请问选手A晋级的概率是多少?
该题考查学生能否正确使用树状图解决概率问题。
例3.保险公司的生命表的问题。生命表又称死亡表,是人寿保险费率计算的主要依据,如下图是1996年6月中国人民银行发布的中国人寿保险经验生命表,(1990~1993年)的部分摘录,根据表格估算下列概率(结果保留4个有效数字):
(1)某人今年61岁,他当年死亡的概率;
(2)某人今年31岁,他活到62岁的概率。
例4.有一种游戏,班级里每位同学及班主任的手中都有1点,2点,3点三张扑克,游戏规则一:每位同学任意抽一张,班主任老师也抽一张,如果同学抽到的点数和老师抽到的点数相同,那么这位同学就获得一份小礼物;游戏规则二:每位同学任意抽两张,班主任老师也抽两张,如果同学抽到的这两张点数和老师抽到的两张点数相同,那么这位同学获得一份小礼物。问:
(1)游戏规则一,每位同学获得小礼物的概率是多少?
(2)游戏规则二,每位同学获得小礼物的概率是多少?
本题的第一问,同学们利用树状图很快解决了,但是第二问经过小组讨论,方法层出不穷,同学们争先恐后地讲出了自己的方法,有些方法让人意外!
生1:如果同学抽到的这两张点数和老师抽到的两张点数相同,那么没有抽到的那张扑克的点数也相同。这样问题就转化为每位同学任意抽两张,班主任老师也抽两张,如果同学没有抽到的那张点数和老师没有抽到的相同,那么这位同学就可以获得一份小礼物。这样游戏规则二的概率和游戏规则一的概率完全相同。
师:这位同学能够从反面来思考问题,找出了游戏规则二的等价条件,并巧妙地转化为游戏规则一的情况,非常好!
生2:刚才那位同学的方法有着很大的局限性,如果扑克的张数超过3张,规则一和二的答案就不一样。现在我以1,2,3,4四张扑克为例,游戏规则一的概率为14,游戏规则二的概率我是这样计算的:假如老师抽到的扑克为1和2,我先抽到1的概率为14再抽到2的概率为13,这样概率就为14×13=112;同理先抽2再抽1的概率也为112,两者的和16就是学生获得小礼物的概率。
师:不错!这位同学利用了概率中的乘法原理和加法原理,这是高中概率学习的重点(同学们响起了雷鸣般的掌声)。
生3:老师,我的方法和生2的比较接近。我也以1,2,3,4四张扑克为例,假如老师抽到的扑克为1和2,我抽到1或2的概率为24,再抽一张和老师相同的概率为13,抽到两张扑克点数和老师相同的概率为24×13=16.
师:很好,你能想到这样的方法确实动了一番脑筋,老师相信只要肯动脑筋就一定会有很大的收获,你的方法是一种很好的计算概率的方法,它避免考虑抽到1和2的先后顺序,把生2的两种情况归结为一种情况考虑,是在生2基础上的再上一层楼。
生4:我班的绝大部分同学没有学过乘法原理和加法原理,如何利用已学过的概率知识来解决本题呢?我想出了这样一种方法:我以1,2,3三张扑克为例,任意抽两张,先把扑克分成(1,2)(1,3)(2,3)三种情况,抽到这三种情况中的任意一种都是可能的,然后列出树状图,就可以很轻松地解决本题了。四张扑克也可以用类似的方法来解决。
师:太棒了,生4先将数据巧妙地捆绑在一起,变成了另一种并且等价于游戏规则二的等可能事件,然后利用初中概率计算的主要方法列树状图,很快地解决了本题。
生5:初中学习概率的基本方法是列表法或树状图法,这道题目我们可以采取最基本的列表或树状图来解。以1,2,3,4四张扑克为例,学生抽到两张扑克的情况如下:
假设老师抽到的是1,2这两张扑克,则学生和老师相同的概率为212=16.
该学生的回答让我大吃一惊,他用到的是初中阶段一种最基本的解决概率问题的方法,我在备课时想到了高中的加法原理、乘法原理和先将数据分组再利用树状图来解决,然而却忽略了最基本的方法。他的方法给了我很大的启发,要用已经学过的知识解决问题,从最基本的方法入手,最基本的方法也是最好的方法。