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【摘 要】 数学解题教学设计的技术结构有四个方面：一是教师针对某个数学问题应获得尽可能多的解题思路；二是教师选择具体解题思路在课堂上进行教学活动；三是确定解题过程的关键环节；四是教师依据学生探究数学知识的心理环节，以及其过渡性中介与数学问题所蕴含的教学价值和教学目标，将解题形态转化为教学形态。根据这四个环节的有效配置，教师可以优化课堂解题教学的流程。
【关键词】 数学解题；教学设计；解题形态；教学形态
学习数学意味着学习解题，数学解题教学是数学教学活动的重中之重。数学解题能力的高低，以及是否具备将解题能力转化为数学解题教学能力，是评判一个数学教师优秀与否的重要标准。因此，教师需要特别关注学生形成数学问题思路的某些关键环节，针对学生的心理环节及其过渡性中介设计教学过程，引导学生依靠自己的认知结构力量，重新萌生形成关键环节的数学观念，而不是将自己所得到的结果和盘托出[1]。
一、探究问题解法是做好数学解题教学设计的基础
成功的数学解题教学设计对教师最为基础的要求是，教师要认真独立地进行解题活动， 要保持良好的解题“胃口”，对于具体的数学问题，要尽可能地寻找解决数学问题的方法，然后在获得这些具体的解题方法的基础上，分析学生学习具体解题方法的心理活动，设计有效的教学流程。下面以一道典型的高考压轴题的解题教学过程进行分析。
以上解法源自不等号左右两边表达形式的简单对称，实现了化整体的大小比较为个体的大小比较的目标[2]，建构出分项放缩的证明不等式的方法，打破了我们的思维定式。很多学生喜欢将部分累加化为整体，但是由于不等式③的右边没有理想的方法求出其和的表达式，因此，我们可以考虑将其左边的整体化为某个数列的前[WTBX]n[WTBZ]项和的形式。这里具有逆向思维的方法，一般情况下是不容易想到的，它需要解题者具有突破思维定式的能力。这是一道用分析法证明不等式的典型题目。
该解法运用了函数的思想，将证明不等式的“不小于”问题转化为求函数的最小值问题。我们证明了设定的函数[WTBX]A（n）是单调递增函数，即可由验证函数单调性的定义来解决问题。解法二虽然没有解法一富有创造性，但是，将与自然数n[WTBZ]相关的数列问题转化为求函数极小值的问题，也能给人耳目一新的感觉。然而，在数学解题的教学设计中，这种探究出来的解题思路只是教师在课前准备的，接下来需要教师选择具体的解题思路进行教学设计，将解题形态转化为教学形态，从而为发挥解题教学价值，实现解题教学目标奠定基础[3]。那么，如何基于这两种解题思路展开数学教学活动呢？
二、課堂教学活动中的具体解题环节的选择
当教师找到了具体的（有时可能不止一条）解题思路时，就应该依据具体的教学目标（数学方法、数学观念、数学创新等），选择某一种或两种具体的解题思路，仔细揣摩不同学生解题的障碍点，进而设法通过教学法的处理，将学生可能出现困难的心理环节，转化为启发学生运用自己的数学现实独立地萌生解题思路，促使学生巩固数学知识、形成数学方法、生发数学观念、吸取解题经验，发挥数学解题的教学价值，实现具体的解题教学目标。
对于例1的两种解法，在有限的课堂教学中，教师需要做出具体的选择，选择的主要依据是借助这道题的解题活动与方法实现有价值的解题教学目标，而解题教学目标蕴含于解题活动的过程之中，需要教师依据学生的个性特点、数学经验，以及社会对数学教学的具体诉求（如利用有价值的数学课程资源培养学生的创新能力等）进行教学设计。解题教学目标的侧重点并不是固定不变的，它随着教师所设计的课程进度、学生的个性经验、社会要求等的不同而不同。因此，数学解题教学目标是辩证的，教师在设计解题教学目标时，一定要具体问题具体分析。
例1的两种解法，从形式上看，解法二比较简洁，运用了处理不等式问题时常采用的方法—— 利用函数的单调性与极值的相关知识解题。相对于解法一，这个方法及其所运用的数学知识都是学生比较容易想到的。如果教师在课堂教学活动中选择解法二，将不利于培养学生的创新能力。基于此，我们认为，对于这道题的教学设计，教师在进行课堂解题活动时，应该优先选择解法一；如果时间允许，在课堂上完成了解法一的教学过程后，再简要地启发学生思考解法二。
三、数学解题教学设计的关键活动环节是将解题形态转化为教学形态
有了前面两个环节的准备工作，如何在课堂上将这种解题形态转化为教学形态，是决定教师课堂教学水平的关键。教师可以通过听课或阅读相关的解题教学设计论文等，从数学教学实践中提升自己的解题教学能力。相对于数学解题能力，数学解题教学能力的实现基于一般的理论指导，其作用是比较弱的。我们还是以例1的解法一为例，展示将解题形态转化为教学形态的具体方法与途径。（下文的省略号表示学生思维的中断。）
生1：经由对相关函数的赋值计算，可以得到[BFB]f（n）h（n）= （4n+3） n 6 ，[h（1）+h（2）+…+h（n）]= 1 + 2 +…+ n [BFQB]，于是由不等式①可知，只要证明 （4n+3[DK]） n 6 -[DK]（ 1 + 2 +…+ n [DK]）≥ 1 6 ②即可，但是……
师：这位同学成功地解决了一些外围问题，虽然没有涉及问题的核心，但是可以为进入问题的核心创造机会。那么，如何处理不等式②而进入问题的核心呢？
生2：由不等式②可知， （4n+3[DK]） n 6 与 1 6 都是具体的有限项，而 1 + 2 +…+ n 为无限项，因此，我想把有限项与无限项分离，于是，将不等式②变形为 （4n+3[DK]） n 6 - 1 6 ≥ 1 + 2 +…+ n ③的形式……
师：可惜了，这位同学没有将这个想法继续下去，从而转化为有效的探究思路。大家有什么想法呢？
生3：比较不等式③的两边可知，不等式③的左边是有限项，右边为无限项。我的想法是可否将不等式③的右边进行计算，使它也变为有限项，这样就可以将其化为两个具体的数的大小比较了。但是，实际上我没有达到这个目的。 师：这位同学的这个想法，虽然在技术上我们难以具体执行，但是，我们可以分析他的想法的心理来源。他可能是这样想的：对于不等号（等号也是一样），它所连接的两边的式子具有一种对等关系，不等式③的这种形式不是对等的。在“求简”的数学观念指令下，他想到了求不等式③右边的一个表达式。可惜，我们办不到。怎么办？
生4：我们可以倒着想，既然不等式③的右边不能直接相加得到一个结果，从而得到一个与不等式③的左边形成一个对等的形式，那么，我想把不等式③的左边转化为一个具体的n项和的形式。但是，我没有想好。
师：大家想想看，这位同学的这个解题思路是否可行？
生5：要实现这个想法，就要找到一个数列的n项和，使其等于
笔者在进行这道题的解题教学设计时，对于解法一，没有将自己的解题思路不加改造地传授给学生，而是经过教学法的加工，启发学生在具体的解题背景下，依靠自己的数学知识与解题经验自行地萌生解题思路，以此实现数学解题教学的教学目标，这种教学行为明显优于教师将自己的解题活动过程（特别是需要萌生的数学观念）轻易地“奉送”给学生的教学行为。由此，我们可以归纳出数学解题教学设计的技术性结构。
四、数学解题教学设计对于教师的要求
通过例1的解题教学设计过程，我们可以得到数学解题教学对于教师的四个要求：一是数学教师针对某个数学问题应獲得尽可能多的解题思路，教师获得思路的最好方式是自己亲自解题，因为基于自己解题得到的思路，他会对自己的思路活动过程了如指掌，容易萌生某些数学观念，从而容易发现并确定解决问题的关键环节；二是选择具体解题思路在课堂上进行教学活动，因为数学问题所蕴含的教学价值对数学教学目标具有非常重要的作用；三是确定解题过程的关键环节；四是依据学生构建数学知识的心理环节及其过渡性中介，以及数学问题所蕴含的教学价值、教学目标，将解题形态转化为教学形态，从而设计课堂解题教学的具体流程。其实，这四个要求就组成了数学解题教学的技术性结构，对于这种技术性结构的作用，我们在这里就不赘言了。
五、结语
数学解题教学应作为一项非常重要的教学目标。波利亚说，我所解决的每一个问题都将成为一个范例，用以解决其他问题[4]。这对一线数学教师提出了非常高的要求。因此，教师一定要借助自己的数学（解题）教学实践，多听有经验的教师的解题教学，不遗余力地集体或自己独立地进行解题教学研究，尽可能地阅读解题教学设计论文，不断完善自己的数学解题教学行为，为提高数学解题教学水平而不懈努力。
参考文献：
[1]张昆，罗增儒. 数学解题教学设计研究：指向渗透数学观念的视点[J]. 中学数学杂志（高中版），2017（11）：15-18.
[2]张昆.渗透数学观念 促进深度迁移：基于发掘蕴藏于知识中的教育价值探讨[J].中国数学教育（高中版），2012（5）：6.
[3]张昆，张乃达. 集中条件：数学解题的关键——教学设计的视角[J]. 中学数学（高中版），2016（3）：9-12.
[4]波利亚.数学的发现：对解题的理解、研究与讲授（第一卷）[M]. 刘景麟，曹之江，译. 呼和浩特：内蒙古人民出版社，1979.
【关键词】 数学解题；教学设计；解题形态；教学形态
学习数学意味着学习解题，数学解题教学是数学教学活动的重中之重。数学解题能力的高低，以及是否具备将解题能力转化为数学解题教学能力，是评判一个数学教师优秀与否的重要标准。因此，教师需要特别关注学生形成数学问题思路的某些关键环节，针对学生的心理环节及其过渡性中介设计教学过程，引导学生依靠自己的认知结构力量，重新萌生形成关键环节的数学观念，而不是将自己所得到的结果和盘托出[1]。
一、探究问题解法是做好数学解题教学设计的基础
成功的数学解题教学设计对教师最为基础的要求是，教师要认真独立地进行解题活动， 要保持良好的解题“胃口”，对于具体的数学问题，要尽可能地寻找解决数学问题的方法，然后在获得这些具体的解题方法的基础上，分析学生学习具体解题方法的心理活动，设计有效的教学流程。下面以一道典型的高考压轴题的解题教学过程进行分析。
以上解法源自不等号左右两边表达形式的简单对称，实现了化整体的大小比较为个体的大小比较的目标[2]，建构出分项放缩的证明不等式的方法，打破了我们的思维定式。很多学生喜欢将部分累加化为整体，但是由于不等式③的右边没有理想的方法求出其和的表达式，因此，我们可以考虑将其左边的整体化为某个数列的前[WTBX]n[WTBZ]项和的形式。这里具有逆向思维的方法，一般情况下是不容易想到的，它需要解题者具有突破思维定式的能力。这是一道用分析法证明不等式的典型题目。
该解法运用了函数的思想，将证明不等式的“不小于”问题转化为求函数的最小值问题。我们证明了设定的函数[WTBX]A（n）是单调递增函数，即可由验证函数单调性的定义来解决问题。解法二虽然没有解法一富有创造性，但是，将与自然数n[WTBZ]相关的数列问题转化为求函数极小值的问题，也能给人耳目一新的感觉。然而，在数学解题的教学设计中，这种探究出来的解题思路只是教师在课前准备的，接下来需要教师选择具体的解题思路进行教学设计，将解题形态转化为教学形态，从而为发挥解题教学价值，实现解题教学目标奠定基础[3]。那么，如何基于这两种解题思路展开数学教学活动呢？
二、課堂教学活动中的具体解题环节的选择
当教师找到了具体的（有时可能不止一条）解题思路时，就应该依据具体的教学目标（数学方法、数学观念、数学创新等），选择某一种或两种具体的解题思路，仔细揣摩不同学生解题的障碍点，进而设法通过教学法的处理，将学生可能出现困难的心理环节，转化为启发学生运用自己的数学现实独立地萌生解题思路，促使学生巩固数学知识、形成数学方法、生发数学观念、吸取解题经验，发挥数学解题的教学价值，实现具体的解题教学目标。
对于例1的两种解法，在有限的课堂教学中，教师需要做出具体的选择，选择的主要依据是借助这道题的解题活动与方法实现有价值的解题教学目标，而解题教学目标蕴含于解题活动的过程之中，需要教师依据学生的个性特点、数学经验，以及社会对数学教学的具体诉求（如利用有价值的数学课程资源培养学生的创新能力等）进行教学设计。解题教学目标的侧重点并不是固定不变的，它随着教师所设计的课程进度、学生的个性经验、社会要求等的不同而不同。因此，数学解题教学目标是辩证的，教师在设计解题教学目标时，一定要具体问题具体分析。
例1的两种解法，从形式上看，解法二比较简洁，运用了处理不等式问题时常采用的方法—— 利用函数的单调性与极值的相关知识解题。相对于解法一，这个方法及其所运用的数学知识都是学生比较容易想到的。如果教师在课堂教学活动中选择解法二，将不利于培养学生的创新能力。基于此，我们认为，对于这道题的教学设计，教师在进行课堂解题活动时，应该优先选择解法一；如果时间允许，在课堂上完成了解法一的教学过程后，再简要地启发学生思考解法二。
三、数学解题教学设计的关键活动环节是将解题形态转化为教学形态
有了前面两个环节的准备工作，如何在课堂上将这种解题形态转化为教学形态，是决定教师课堂教学水平的关键。教师可以通过听课或阅读相关的解题教学设计论文等，从数学教学实践中提升自己的解题教学能力。相对于数学解题能力，数学解题教学能力的实现基于一般的理论指导，其作用是比较弱的。我们还是以例1的解法一为例，展示将解题形态转化为教学形态的具体方法与途径。（下文的省略号表示学生思维的中断。）
生1：经由对相关函数的赋值计算，可以得到[BFB]f（n）h（n）= （4n+3） n 6 ，[h（1）+h（2）+…+h（n）]= 1 + 2 +…+ n [BFQB]，于是由不等式①可知，只要证明 （4n+3[DK]） n 6 -[DK]（ 1 + 2 +…+ n [DK]）≥ 1 6 ②即可，但是……
师：这位同学成功地解决了一些外围问题，虽然没有涉及问题的核心，但是可以为进入问题的核心创造机会。那么，如何处理不等式②而进入问题的核心呢？
生2：由不等式②可知， （4n+3[DK]） n 6 与 1 6 都是具体的有限项，而 1 + 2 +…+ n 为无限项，因此，我想把有限项与无限项分离，于是，将不等式②变形为 （4n+3[DK]） n 6 - 1 6 ≥ 1 + 2 +…+ n ③的形式……
师：可惜了，这位同学没有将这个想法继续下去，从而转化为有效的探究思路。大家有什么想法呢？
生3：比较不等式③的两边可知，不等式③的左边是有限项，右边为无限项。我的想法是可否将不等式③的右边进行计算，使它也变为有限项，这样就可以将其化为两个具体的数的大小比较了。但是，实际上我没有达到这个目的。 师：这位同学的这个想法，虽然在技术上我们难以具体执行，但是，我们可以分析他的想法的心理来源。他可能是这样想的：对于不等号（等号也是一样），它所连接的两边的式子具有一种对等关系，不等式③的这种形式不是对等的。在“求简”的数学观念指令下，他想到了求不等式③右边的一个表达式。可惜，我们办不到。怎么办？
生4：我们可以倒着想，既然不等式③的右边不能直接相加得到一个结果，从而得到一个与不等式③的左边形成一个对等的形式，那么，我想把不等式③的左边转化为一个具体的n项和的形式。但是，我没有想好。
师：大家想想看，这位同学的这个解题思路是否可行？
生5：要实现这个想法，就要找到一个数列的n项和，使其等于
笔者在进行这道题的解题教学设计时，对于解法一，没有将自己的解题思路不加改造地传授给学生，而是经过教学法的加工，启发学生在具体的解题背景下，依靠自己的数学知识与解题经验自行地萌生解题思路，以此实现数学解题教学的教学目标，这种教学行为明显优于教师将自己的解题活动过程（特别是需要萌生的数学观念）轻易地“奉送”给学生的教学行为。由此，我们可以归纳出数学解题教学设计的技术性结构。
四、数学解题教学设计对于教师的要求
通过例1的解题教学设计过程，我们可以得到数学解题教学对于教师的四个要求：一是数学教师针对某个数学问题应獲得尽可能多的解题思路，教师获得思路的最好方式是自己亲自解题，因为基于自己解题得到的思路，他会对自己的思路活动过程了如指掌，容易萌生某些数学观念，从而容易发现并确定解决问题的关键环节；二是选择具体解题思路在课堂上进行教学活动，因为数学问题所蕴含的教学价值对数学教学目标具有非常重要的作用；三是确定解题过程的关键环节；四是依据学生构建数学知识的心理环节及其过渡性中介，以及数学问题所蕴含的教学价值、教学目标，将解题形态转化为教学形态，从而设计课堂解题教学的具体流程。其实，这四个要求就组成了数学解题教学的技术性结构，对于这种技术性结构的作用，我们在这里就不赘言了。
五、结语
数学解题教学应作为一项非常重要的教学目标。波利亚说，我所解决的每一个问题都将成为一个范例，用以解决其他问题[4]。这对一线数学教师提出了非常高的要求。因此，教师一定要借助自己的数学（解题）教学实践，多听有经验的教师的解题教学，不遗余力地集体或自己独立地进行解题教学研究，尽可能地阅读解题教学设计论文，不断完善自己的数学解题教学行为，为提高数学解题教学水平而不懈努力。
参考文献：
[1]张昆，罗增儒. 数学解题教学设计研究：指向渗透数学观念的视点[J]. 中学数学杂志（高中版），2017（11）：15-18.
[2]张昆.渗透数学观念 促进深度迁移：基于发掘蕴藏于知识中的教育价值探讨[J].中国数学教育（高中版），2012（5）：6.
[3]张昆，张乃达. 集中条件：数学解题的关键——教学设计的视角[J]. 中学数学（高中版），2016（3）：9-12.
[4]波利亚.数学的发现：对解题的理解、研究与讲授（第一卷）[M]. 刘景麟，曹之江，译. 呼和浩特：内蒙古人民出版社，1979.