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【摘 要】在小学数学教学中注意数学思想方法的渗透和学生数学素养的培育，已成为越来越多的教育工作者的共识，也成为了数学教育发展的趋势。本文针对数学思想和数学方法的区别和联系，基于对数形结合思想方法的认识，阐述了数形结合思想方法的基本概念，并详细论述了数形结合思想方法的历史发展、“数”与“形”的内容以及其重要性，总结了数形结合思想方法的渗透途径与有效教学的几个方面。
【关键词】数学思想方法；数与形；数形结合思想方法；小学数学教学；有效渗透
1 数学思想方法的简述
从数学的教育理念、教材内容以及教师价值这三方面，可以明显地看出在小学数学教学中渗透数学思想方法的必要性。
首先，《小学数学教材概说》和《全日制义务教育数学课程标准解读》中关于数学教学都提到：注意数学思想方法的渗透和学生数学素养的培育。国外一些国家也针对此纷纷出台了一些相应的规定。例如德国明确规定：要使学生获得数学的思想方法；日本在教育目的中提出培养学生对日常事物进行有条理的思考能力；美国在《学校数学课程评价标准》中提出学生能“为数学推理而学习”；法国数学大纲也提出“使学生能严密地思考，能准确地表达”。可见，在小学数学教学中注意数学思想方法的渗透和学生数学素养的培育已成为数学教育发展的一种趋势。
其次，从教材内容的角度来看，在小学数学教材中明确有这么两条线：一是数学知识，它明明白白地写在课本里，是有形的东西；二是数学思想方法，它是渗透在知识体系中的。
再次，作为教育工作者，教师担负着向学生教授课本知识的重担。但从新课改的教师职业转化的角度来看，他们不仅仅只是向学生传授基本的数学知识了，而更为重要的是，要向学生传授数学思想方法，来充分提高学生的数学能力。
综上所述，在教学中对学生进行数学思想方法的渗透显得多么的重要。
此外，《数学课程标准》中指出“数学思想方法是对数学规律的理性认识。学生通过数学学习，形成一定的数学思想方法是数学课程的一个重要目的，应在教学中加强渗透。”[1]由此可见，渗透数学思想方法的教学不仅有利于学生掌握数学知识的基本结构，也对增强学生的数学体验，提高其素质，促进其数学认知的发展与完善，形成良好思维品质，提升数学能力起到关键的作用。
那么作为一种数学思想方法，数形结合思想方法在整个数学学科中发挥着举足轻重的地位。这不仅引起了教育研究者的重视，还得到了一线教师的肯定，并促进教师进行深入的研究。
现阶段，数形结合思想方法在中学教学中常被提起并运用，而在小学阶段呢？它在小学数学教学中的渗透如何呢？可以说小学阶段正是学生由以具体形象思维向以抽象逻辑思维为主要形式的过渡时期，如果在小学数学教学中恰当地渗透数形结合思想方法，这将极大地促进学生的数学认知结构的发展与完善，提高学生的数学能力。
因此，对于“数形结合思想方法在小学数学教学中的渗透”的研究是很有现实意义的。
2 数形结合思想方法概述
2.1数形结合思想方法的基本概念
2.1.1数学思想与数学方法的关系
（1）两者的区别
所谓数学思想是指认识主体对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。它具有本质性、指导性和创造性等特点。马克思主义告诉我们“思想对客观现实的发展具有强大的作用，正确的思想一旦为人们所掌握就会成为改造世界的巨大物质力量”。诚然，掌握了数学思想，就掌握了数学的精髓与灵魂。由于数学思想是伴随着数学历史的发展而发展的，而历史是始终向前发展的，因此数学思想既含有传统数学思想的精华，又具有现代数学思想的基本特征。此外，个人通过对数学思想的培养，其数学能力无疑会有一个大幅度的提高。
我们常说的四大数学思想包括：数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想。
所谓数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。它具有以下三个特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性；三是应用的普遍性和可操作性。常用的数学方法有演绎法、归纳法、计算法、分析法等。
（2）两者的联系
数学思想与数学方法不仅具有不同点，也有相同点，即二者具有相关性。
这表现在：数学思想对数学方法具有指导意义，人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的途径、方式、手段，而同一途径、方式、手段被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，就成为了数学方法；而各种各样的数学方法又体现了一定的数学思想，如演绎法、归纳法体现了推理思想，计算法、分析法体现了化归思想等，可见数学方法来源于数学思想，是数学思想的具体化形式。而同样地，从一些数学方法中又能提炼出一种新的数学思想从而指导出新的数学方法，二者是相伴、相随的。
实际上，数学思想与数学方法在本质上是相同的，二者没有严格的划分界限，差别只是站在不同的角度如何看待它们而已，通常将二者当成一个整体概念，混称为“数学思想方法”。
2.1.2数形结合思想方法
（1）含义
数学是关于现实世界的数量关系和空间形式的一门科学。[2]而数形结合思想方法就是将这种现实世界的数量关系和空间形式联系在一起并以图助数或以数助图的方法去解决问题的一种数学思想方法。它是数学思考中最基本的，也是最简单的数学思想方法。它的产生与应用既是为了让人们更清楚、方便地去研究数学这一门伟大的学科，也是为了让这些既抽象、严谨又具有逻辑性和广泛性的数学知识能形象地、深刻地、清楚地投射在人们的视线里，烙印在人们的头脑中。同时，它又具有强应用性及可操作性，是联结人脑活动与实际动手操作的纽带，它受思想的支配作用于事物表面，从而表现出一种解决问题的途径、方式、手段。 它的这些特征在实际应用中主要体现在两方面：第一，在小学数学教学中既偏重于具体的一招一式，即可操作性强；第二，注重于抽象的思维方式，即概括性强。
更具体地讲，数形结合思想方法是可以将抽象的数学语言与直观的图形、抽象思维与形象思维相结合在一起的，它不仅仅包含着数量关系和空间形式这种简单概念上的内涵，还包括了运用这种数学思想方法的媒介。这种媒介具有着可以将“数”体现于“形”中，并让学生能从中自然地体会出“形数”之间的关系，又可以将“形”体现出“数”的作用。
（2）两大重要内容“数”与“形”
总括之，数形结合思想方法既具有着数学思想的内涵，又具有着数学方法的外显特点。“数”与“形”是它的两大重要内容，也是它的两个侧重点；而“借形论数”和“借数论形”是它的具体研究方式。1
首先，这里所说的“数”与“形”是指在小学阶段的数学教学中使用的数形结合思想方法的两大范畴内容的。“数”其实很容易理解，主要是指在小学阶段学生接触到的所有关于数量关系的数学知识或技能。而“形”则是除了关于空间形式的数学知识、技能外，还指与这些知识、技能相关的各种工具。
这类工具可以是教材中的一些简单的几何图形、符号，如几何知识中的长方形、正方体图片或模型等；也可以是文字所作的示意图，例如线段图、树形图、韦恩图等等；还可以是一些借助于多媒体方式呈现的几何图形，例如教学课件中的几何动态图等。
其次，二者的联结使用可以用八个字来形容，即“借形论数”和“借数论形”。
借形论数是指借助于对图形的直感分析来推证数量关系的一种思想方法。[3]即以形为手段，借助图形的生动直观形象以及可操作性来阐明数与数之间的关系，例如小学数学应用题解题教学时，运用线段图来构建解题思路、分析题中信息，找出数量关系从而正确解答问题；在学习单元“6到10的认识和加减法”中，通过向学生出示有关实物数量的图像，引导学生观察与动手操作并总结出数学算理。
借数论形是指借助于数的精确与概括性来提炼图形的本质。即以数为手段，以形为目的，借助对数与数的理解去建构图形，加深理解空间关系以及相关知识。比如在学习平行四边形的面积中，学生通过数格子来理解面积的大小变化。
2.2数形结合思想方法的历史发展足迹
人类从最初对自然数量关系和空间形式的模糊认识，到形成数的概念、记数符号、计算方法以及对图形的认识过程中，不知道要经过多少代人的艰辛努力，经过多少思想的积淀。数形结合思想方法在这段漫长的发展史中的足迹在哪里呢？且从以下两方面来探索吧。
2.2.1国内发展渊源
人们在生活中记数，算数，度量长度、面积和体积时，最初就是将数和形结合起来的。
首先，公元前2000年河图和洛书在我国的出现和使用，是数形结合思想方法发展的牵引线。从这两图中，不难发现古人在研究数学问题时，将数与图联系在一起的做法是很先进的，而事实证明这么做也是很有用的，利用图形的空间结构研究数量之间的关系，并根据二者的联系可以较快并方便地解决问题。这也正是数与形的最初碰撞。
其次，产生于公元前1500年前后的我国甲骨文十进记数系统，也是以“形”的方式来探讨数的信息的，只不过这种“形”的方式是较简单的，它还只是依靠拼拼摆摆，形成相应的空间结构，从而方便记数，但这种形式却是最直观的，也是在当时最先进的记数法，它们的相互作用直接提升了人们对数的认识。
最后，我国的算筹和算盘可算是历史悠久的计数工具，也是数形结合的典型范例，它们同样是以具体的图形或图形结构方式来表达抽象的数的，由此不难发现“数”产生于各种“形”的计算，“数”又借助于“形”得以用来记录、使用、计算。
甚至在宋元时期，我国古代数学家在数学发展史上的一些贡献，多多少少也揭示出了数形结合思想方法的足迹，总而言之，他们系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形中的几何关系描述成代数关系。
2.2.2国外发展足迹
在历史长河中，国外数学研究者对数学的研究中，也能找到关于数形结合思想方法的一些足迹。
公元前6世纪前，国外数学家们对数学只是关于“数”的研究，从公元前6世纪开始，才突出了对“形”的研究，于是数学成为关于数与形的研究。公元前4世纪，希腊哲学家亚里士多德在他所定义的数学概念中提出“量”一词，体现了“数”与“形”之间的联系。这个定义对于今后数学的发展影响深远。
“在牛顿与莱布尼茨以后，数学成为研究数、形以及运动与变化的学问。19世纪特别是后期开始，数学成为研究数与形、运动与变化，以及研究数学自身的学问。”[4]20世纪50年代，前苏联一批有影响的数学家对于现代数学的定义又重新提出了“量”一词，如果说之前对“数”与“形”是区别对待的，那么到此可以说这一定义不再区分“数”与“形”了。
20世纪80年代一批美国学者对于数学定义的时代尝试中，提出了“模式”一词，这一定义用“模式”代替了“量”，而这个词中就包括了数的模式、形的模式。至此，在国外学者们的研究中，我们可以知道，“数”与“形”的分合经历了怎样的历史磨合啊。
其中，毕达哥拉斯学派的关于“形数”的研究，正体现了“数”与“形”的结合。而正是由于毕达哥拉斯学派算术中采用了数形结合的观点，才推动了几何学的抽象化倾向。
2.3数形结合思想方法的重要性
数形结合思想方法在古代数学中就作为一种数学教学思想。刘徽在《九章算术》中注释的解题方法是“析理以辞，解体用图”，赵爽注释《周脾算经》时说“辄依经为图，以披露堂之奥”。以上说的正是数形结合思想方法的运用，“析理”即分析道理，在数学研究中，可认为分析问题，而分析问题正是需要运用脑部器官去思考的，因此这显示出了思维的作用；“解体用图”，即运用几何知识或图形去解决问题，以图助数正体现了数形结合思想方法在解决问题中的渗透，蕴含了运用动手操作的意味。“辄依经为图，以披露堂之奥”蕴含的意思也正是如此；可见，数形结合思想方法与思维的作用以及和其他各方面是紧密联系在一起的。 2.3.1建构小学数学教材内容
纵观小学数学教材，“数”与“形”占据着重要的地位。
首先，在小学阶段所学的数学基础知识的范围包括数量关系和空间形式两大部分，这也是数学学科知识中最基本的内容。其中数量关系是指数与数，量与量之间的内在联系和相依关系；空间形式是指物体的形状、大小和相互位置关系。[5]但空间形式在小学数学教学大纲中改称为“几何图形”，主要是由于小学阶段几何知识涉及的范围限制所致。
其次，教材在编排上注意并采用了数和形的结合。
几何初步知识结合认数与计算的内容适当地被分配在了各个年级的教学内容中。一方面利用几何图形的直观性加深学生对数的概念和计算方法的理解；另一方面结合认数与计算，逐步使学生认识一些几何形体的特征以及求积计算，这样使数形知识相互配合，达到知识间的融合与提高。此外，教材采用圆周式的编排方法，把数和形的每一方面内容，适当划分成几个阶段，使每一阶段内容的学习既有一定的重复，又各有新的要求，做到了螺旋上升。
由此可见，教材无论在知识范围抑或在编排体系上均渗透了数形结合思想方法。
2.3.2培养小学生的数学思维能力
朱智贤在《儿童心理学》一书中指出：“小学生思维发展的基本特点是以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式；但这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然是直接与感性经验相联系的，仍然具有很大成分的具体形象性。”[6]
在数形结合思想方法中，“数”的精确和“形”的直观以及“形”包含的具有可操作性的工具，不仅突出了具体形象性，而且在教学运用中是直接与学生的感性经验相联系的。从本质上讲，数形结合思想方法在小学数学教学中的渗透对小学生的数学思维能力的发展具有着深刻的影响作用。
第一， 能有效地培养与提高学生的形象思维能力。结合数形结合思想方法进行教学，首先就为学生在头脑中建立了大量的表象；其次通过教师的引导或直观实物的演示，更是丰富了学生的这一表象储备；然后学生运用建立起来的表象进行思考，启动形象思维。由此便有助于小学生的数学思维能力的发展。
第二， 学生形象思维能力的提高有利于学生更好地掌握知识。小学生在学习抽象的数学概念、法则和运算时，往往也要借助于形象思维来理解数和形的抽象的数量关系和空间关系。
第三， 数与形的结合，把形象思维与抽象思维有机地结合，同时促进了这两种思维能力同步发展，为小学生初步形成辩证思维能力创造了条件，从而促进其思维的发展。
2.3.3培养小学生的动手操作能力
数形结合思想方法在小学数学教学中的渗透能极大地提高学生的动手操作能力。
数形结合思想方法中“形”的工具性为小学生的动手操作提供了可能，这种效果似乎形成了视觉与运动神经的相互作用，和促进了动手与动脑的完美结合，无疑，这样对学生吸收与掌握知识是很有帮助的。
“在珠心算教学中，数符号的学习往往与算盘的联系活动结合起来学，有利于儿童对符号的理解与掌握。”[7]同样地，注重数形结合思想方法的教学中，强调学生的动手操作能力，能更好地帮助学生对几何图形或数量关系的认识与掌握，更加体现出数形结合思想方法的重要性。
3 渗透数形结合思想方法的有效教学
3.1注重教学的直观
直观是主体通过对直接感知到的教学材料的表层意义、表面特征进行加工，从而形成对有关事物的具体的、特殊的、感性的认识的加工过程。直观是理解科学知识的起点，是学生由不知到知的开端，是知识获得的首要环节。[8]
渗透数形结合思想方法的有效教学应该注重教学的直观。根据小学生的认知发展，在低年级，学生认数，离不开学具的操作；到高年级，学生同样需要增加学习实践的机会。通过动手操作，促进他们的动手与动脑相结合，提高数学能力。
新教材将数学知识分为“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四大领域，并将各领域知识有机结合，显示了知识间有一定的相互渗透。教材呈现出来的知识不仅注重学生的生活经验，甚至有些数学问题就是学生在日常生活中碰到的。此外，教材中丰富的生活素材更能激起学生的学习兴趣。因此，采用直观教学对于数学教学来说不仅是一项不错的举措，而且对于数形结合思想方法的渗透也起到了重要的促进作用，甚至对于提高学生的素质也起到了一定的作用。
3.1.1增加学生对美的体验，提高学生的鉴赏能力
直观教学为数形结合思想方法的渗透提供了展示的平台，在直观教学中可向学生提供直观化、形象化的教具、实物或教学课件。对于低年级学生来说，教师指导学生根据教学课件、表格或对话等收集信息显得比较重要，这就需要学生学会看图，读题，从中获取多方面信息，并选择有用的信息。在这一过程，必定会引起学生对直观形象的兴趣，从而在他们的头脑中形成美的形象。例如，在教学“平行四边形的面积”中，通过出示平行四边形图片，鼓励学生如何将平行四边形转化成学过的图形并思考运用所学过的知识来理解平行四边形的面积计算方法的过程中，让学生动手操作，通过自己的实际操作学生有可能将其分成一个梯形和一个直角三角形或两个直角三角形和一个长方形又或者其他别的图形，然后教师再引导“能不能将图形组合成我们学过的图形呢”，由此学生再通过想像与拼摆操作验证是否能转化成长方形。在这些实际操作中，学生不仅加深了对图形的认识，也增加了对美的认识，充分提升了他们的鉴赏能力。
3.1.2提高学生的绘画、具有再造图的能力
“展示教学内容中各种美的形象，符合学生形象思维强的特点，使学生在审视、感受、理解、再造形象美的过程中获得知、情、意、技、能的发展。”[9]在教学过程中，教师必定会使用许多直观图形、表格、示意图、线段图等来辅助教学，有时自然也需要学生在习得知识的过程中绘画出相应的图形、表格、示意图、线段图等。而在这种动手操作过程中，学生不仅亲身体验了数学活动，还充分启发思维活动，尝试再造图的体验。例如，五年级学生在学习“长方体和正方体的认识”后，个别学生即使已认识了长方体的一些特征，例如长方体有12条棱、6个面、8个顶点等，仍无法画出长方体的非透视图甚至无法想象出长方体的透视图。究其原因是学生缺乏整体感知与对图形中数量关系的准确认识。为解决这种情况，教师在教学时，可以通过示范、实验、合作、讨论、思考、探究等方法来增加学生的动手操作活动。例如可以先让学生准备实验小棒，用小棒代表长方体的棱长，12根小棒分长、宽、高三组，让学生思考如何围成一个长方体；然后根据长方体长、宽、高三条棱的长度，用手势比划一个长方体，并且想象出它与哪个实物相似；最后让学生将这个实物描画出来，教师继续引导学生总结三组棱长的数量关系，画出其透视图。 3.2正确使用“工具”
联系数形结合思想方法与教学的一个重要媒介即工具，这个工具是属于“形”中的重要内容的，因此选用何种工具和正确使用它是渗透数形结合思想方法的有效教学的重要方面之一。
3.2.1提供直观实物工具
小学数学教学为学生提供了众多的学具，有些学具在使用过程中能充分体现出数形结合思想方法。例如“圆面积求积模型”，这是一种用于推导圆面积的求积计算公式的教具；“多功能组合图形卡”，这是指导学生计算各种组织图形的面积，发展学生的空间观念和思维能力的学具；“几何图形卡”，是一种印有各种结合图形的、可帮助学生认数、计算的学具等等。教师应在教学过程中，结合学生的学具，恰当选择组织教学，让学生在动手操作过程中体会数形结合思想方法的好处。
3.2.2使用逻辑推理的教具
此外，教师还应根据教材内容的需要，深入钻研教材中的数形结合思想方法，借助合适的“工具”将其体现在教学过程中。例如常用直观图、示意图、点子图、线段图、韦恩图等。比如有的教师在讲解“解决问题”的有关应用题练习中，通过让学生读题，思考题中数量关系并用数学关系表示出来，接着鼓励学生自行画出线段图讨论其数量关系，在师生的共同探讨下，直观明了的线段图俨然成了一副解题的思路图与知识脉络图。
3.2.3借助现代科学技术，使用动态课件辅助
随着现代科学技术的进步，特别是电子计算机的发展，教育在改革和发展上呈现出了教育技术的现代化特点。
随之而来的便是在教学中多媒体课件的运用。多媒体课件作为一种视听综合媒体，其基本功能是以文字、图像来描述知识，以形象，生动的画面再现事物的现象、特征。使用多媒体课件，可以提高学生的学习兴趣和保持注意力。例如一位教师在讲“角的初步认识”这一课时，利用课件将生活中的物体、优美的图案，直观形象地展现出来，给学生以如见其物的感受。在观察实物中的角时，课件先显示一面色彩鲜艳的红领巾，再把它的三个角逐个闪动，最后把三个角同时闪动出来，告诉学生这些图形就叫做角。这样通过直观动态的画面，激发了学生的学习兴趣和求知欲，学生在和谐、愉快的氛围中对“角”这一概念有了充分的认识。又比如有教师在讲授“同面积的长方形与正方形的周长不一定相等”时，借助教学课件，播放具有相同速度的两个小孩在长方形与正方形草坪上的同一点起跑，同时绕其跑一圈。学生通过观察，形象地感知“两个面积相等的长方形与正方形的周长不一定相等”。
可见，教学课件在一定程度上方便了数形结合思想方法在教学中的运用，并促进了教学过程成功地进行。
3.3重视教师的研究者角色，深度研究教材
教师工作的对象是充满生命力的、千差万别的、活生生的人，传授的内容是不断发展变化的人文、科学知识。这就决定了教师要以一种变化发展的态度来对待自己的工作对象、工作内容，要不断学习、不断反思、不断创新。
而对于数形结合思想方法，教师通过深度研究教材，了解它在教材中是如何渗透的，就能明确教材为什么这么编写，也就能从整体上、本质上去理解教材，以较高的观点、角度去分析教材和处理教材，并科学地、灵活地设计教学方法，提高课堂教学效率。即要求教师要不断更新观念，从思想上，不断加深对数形结合思想方法的认识以及对其重要性的理解。
4 结束语
在小学数学教学中，作为教育工作者的一线教师，教师应依据具体情况在一段时间内渗透或明确介绍或突出体现数形结合思想方法。诚然，教师也应形成这样的认识：首先有必要弄清楚有关数形结合思想方法的一些概述，然后应明确对学生进行数学思想方法的渗透不是一朝一夕的，而是一个长期的过程。
综上所述，在小学数学教学中，要注意数形结合思想方法的渗透具有长期性与有效性。
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注释：
袁小明著.数学思想史导论[M].南宁：广西教育出版社.1991.03第一版：161.
【关键词】数学思想方法；数与形；数形结合思想方法；小学数学教学；有效渗透
1 数学思想方法的简述
从数学的教育理念、教材内容以及教师价值这三方面，可以明显地看出在小学数学教学中渗透数学思想方法的必要性。
首先，《小学数学教材概说》和《全日制义务教育数学课程标准解读》中关于数学教学都提到：注意数学思想方法的渗透和学生数学素养的培育。国外一些国家也针对此纷纷出台了一些相应的规定。例如德国明确规定：要使学生获得数学的思想方法；日本在教育目的中提出培养学生对日常事物进行有条理的思考能力；美国在《学校数学课程评价标准》中提出学生能“为数学推理而学习”；法国数学大纲也提出“使学生能严密地思考，能准确地表达”。可见，在小学数学教学中注意数学思想方法的渗透和学生数学素养的培育已成为数学教育发展的一种趋势。
其次，从教材内容的角度来看，在小学数学教材中明确有这么两条线：一是数学知识，它明明白白地写在课本里，是有形的东西；二是数学思想方法，它是渗透在知识体系中的。
再次，作为教育工作者，教师担负着向学生教授课本知识的重担。但从新课改的教师职业转化的角度来看，他们不仅仅只是向学生传授基本的数学知识了，而更为重要的是，要向学生传授数学思想方法，来充分提高学生的数学能力。
综上所述，在教学中对学生进行数学思想方法的渗透显得多么的重要。
此外，《数学课程标准》中指出“数学思想方法是对数学规律的理性认识。学生通过数学学习，形成一定的数学思想方法是数学课程的一个重要目的，应在教学中加强渗透。”[1]由此可见，渗透数学思想方法的教学不仅有利于学生掌握数学知识的基本结构，也对增强学生的数学体验，提高其素质，促进其数学认知的发展与完善，形成良好思维品质，提升数学能力起到关键的作用。
那么作为一种数学思想方法，数形结合思想方法在整个数学学科中发挥着举足轻重的地位。这不仅引起了教育研究者的重视，还得到了一线教师的肯定，并促进教师进行深入的研究。
现阶段，数形结合思想方法在中学教学中常被提起并运用，而在小学阶段呢？它在小学数学教学中的渗透如何呢？可以说小学阶段正是学生由以具体形象思维向以抽象逻辑思维为主要形式的过渡时期，如果在小学数学教学中恰当地渗透数形结合思想方法，这将极大地促进学生的数学认知结构的发展与完善，提高学生的数学能力。
因此，对于“数形结合思想方法在小学数学教学中的渗透”的研究是很有现实意义的。
2 数形结合思想方法概述
2.1数形结合思想方法的基本概念
2.1.1数学思想与数学方法的关系
（1）两者的区别
所谓数学思想是指认识主体对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识。它具有本质性、指导性和创造性等特点。马克思主义告诉我们“思想对客观现实的发展具有强大的作用，正确的思想一旦为人们所掌握就会成为改造世界的巨大物质力量”。诚然，掌握了数学思想，就掌握了数学的精髓与灵魂。由于数学思想是伴随着数学历史的发展而发展的，而历史是始终向前发展的，因此数学思想既含有传统数学思想的精华，又具有现代数学思想的基本特征。此外，个人通过对数学思想的培养，其数学能力无疑会有一个大幅度的提高。
我们常说的四大数学思想包括：数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想。
所谓数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。它具有以下三个特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性；三是应用的普遍性和可操作性。常用的数学方法有演绎法、归纳法、计算法、分析法等。
（2）两者的联系
数学思想与数学方法不仅具有不同点，也有相同点，即二者具有相关性。
这表现在：数学思想对数学方法具有指导意义，人们通过长期的实践，发现了许多运用数学思想的途径、方式、手段，而同一途径、方式、手段被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，就成为了数学方法；而各种各样的数学方法又体现了一定的数学思想，如演绎法、归纳法体现了推理思想，计算法、分析法体现了化归思想等，可见数学方法来源于数学思想，是数学思想的具体化形式。而同样地，从一些数学方法中又能提炼出一种新的数学思想从而指导出新的数学方法，二者是相伴、相随的。
实际上，数学思想与数学方法在本质上是相同的，二者没有严格的划分界限，差别只是站在不同的角度如何看待它们而已，通常将二者当成一个整体概念，混称为“数学思想方法”。
2.1.2数形结合思想方法
（1）含义
数学是关于现实世界的数量关系和空间形式的一门科学。[2]而数形结合思想方法就是将这种现实世界的数量关系和空间形式联系在一起并以图助数或以数助图的方法去解决问题的一种数学思想方法。它是数学思考中最基本的，也是最简单的数学思想方法。它的产生与应用既是为了让人们更清楚、方便地去研究数学这一门伟大的学科，也是为了让这些既抽象、严谨又具有逻辑性和广泛性的数学知识能形象地、深刻地、清楚地投射在人们的视线里，烙印在人们的头脑中。同时，它又具有强应用性及可操作性，是联结人脑活动与实际动手操作的纽带，它受思想的支配作用于事物表面，从而表现出一种解决问题的途径、方式、手段。 它的这些特征在实际应用中主要体现在两方面：第一，在小学数学教学中既偏重于具体的一招一式，即可操作性强；第二，注重于抽象的思维方式，即概括性强。
更具体地讲，数形结合思想方法是可以将抽象的数学语言与直观的图形、抽象思维与形象思维相结合在一起的，它不仅仅包含着数量关系和空间形式这种简单概念上的内涵，还包括了运用这种数学思想方法的媒介。这种媒介具有着可以将“数”体现于“形”中，并让学生能从中自然地体会出“形数”之间的关系，又可以将“形”体现出“数”的作用。
（2）两大重要内容“数”与“形”
总括之，数形结合思想方法既具有着数学思想的内涵，又具有着数学方法的外显特点。“数”与“形”是它的两大重要内容，也是它的两个侧重点；而“借形论数”和“借数论形”是它的具体研究方式。1
首先，这里所说的“数”与“形”是指在小学阶段的数学教学中使用的数形结合思想方法的两大范畴内容的。“数”其实很容易理解，主要是指在小学阶段学生接触到的所有关于数量关系的数学知识或技能。而“形”则是除了关于空间形式的数学知识、技能外，还指与这些知识、技能相关的各种工具。
这类工具可以是教材中的一些简单的几何图形、符号，如几何知识中的长方形、正方体图片或模型等；也可以是文字所作的示意图，例如线段图、树形图、韦恩图等等；还可以是一些借助于多媒体方式呈现的几何图形，例如教学课件中的几何动态图等。
其次，二者的联结使用可以用八个字来形容，即“借形论数”和“借数论形”。
借形论数是指借助于对图形的直感分析来推证数量关系的一种思想方法。[3]即以形为手段，借助图形的生动直观形象以及可操作性来阐明数与数之间的关系，例如小学数学应用题解题教学时，运用线段图来构建解题思路、分析题中信息，找出数量关系从而正确解答问题；在学习单元“6到10的认识和加减法”中，通过向学生出示有关实物数量的图像，引导学生观察与动手操作并总结出数学算理。
借数论形是指借助于数的精确与概括性来提炼图形的本质。即以数为手段，以形为目的，借助对数与数的理解去建构图形，加深理解空间关系以及相关知识。比如在学习平行四边形的面积中，学生通过数格子来理解面积的大小变化。
2.2数形结合思想方法的历史发展足迹
人类从最初对自然数量关系和空间形式的模糊认识，到形成数的概念、记数符号、计算方法以及对图形的认识过程中，不知道要经过多少代人的艰辛努力，经过多少思想的积淀。数形结合思想方法在这段漫长的发展史中的足迹在哪里呢？且从以下两方面来探索吧。
2.2.1国内发展渊源
人们在生活中记数，算数，度量长度、面积和体积时，最初就是将数和形结合起来的。
首先，公元前2000年河图和洛书在我国的出现和使用，是数形结合思想方法发展的牵引线。从这两图中，不难发现古人在研究数学问题时，将数与图联系在一起的做法是很先进的，而事实证明这么做也是很有用的，利用图形的空间结构研究数量之间的关系，并根据二者的联系可以较快并方便地解决问题。这也正是数与形的最初碰撞。
其次，产生于公元前1500年前后的我国甲骨文十进记数系统，也是以“形”的方式来探讨数的信息的，只不过这种“形”的方式是较简单的，它还只是依靠拼拼摆摆，形成相应的空间结构，从而方便记数，但这种形式却是最直观的，也是在当时最先进的记数法，它们的相互作用直接提升了人们对数的认识。
最后，我国的算筹和算盘可算是历史悠久的计数工具，也是数形结合的典型范例，它们同样是以具体的图形或图形结构方式来表达抽象的数的，由此不难发现“数”产生于各种“形”的计算，“数”又借助于“形”得以用来记录、使用、计算。
甚至在宋元时期，我国古代数学家在数学发展史上的一些贡献，多多少少也揭示出了数形结合思想方法的足迹，总而言之，他们系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形中的几何关系描述成代数关系。
2.2.2国外发展足迹
在历史长河中，国外数学研究者对数学的研究中，也能找到关于数形结合思想方法的一些足迹。
公元前6世纪前，国外数学家们对数学只是关于“数”的研究，从公元前6世纪开始，才突出了对“形”的研究，于是数学成为关于数与形的研究。公元前4世纪，希腊哲学家亚里士多德在他所定义的数学概念中提出“量”一词，体现了“数”与“形”之间的联系。这个定义对于今后数学的发展影响深远。
“在牛顿与莱布尼茨以后，数学成为研究数、形以及运动与变化的学问。19世纪特别是后期开始，数学成为研究数与形、运动与变化，以及研究数学自身的学问。”[4]20世纪50年代，前苏联一批有影响的数学家对于现代数学的定义又重新提出了“量”一词，如果说之前对“数”与“形”是区别对待的，那么到此可以说这一定义不再区分“数”与“形”了。
20世纪80年代一批美国学者对于数学定义的时代尝试中，提出了“模式”一词，这一定义用“模式”代替了“量”，而这个词中就包括了数的模式、形的模式。至此，在国外学者们的研究中，我们可以知道，“数”与“形”的分合经历了怎样的历史磨合啊。
其中，毕达哥拉斯学派的关于“形数”的研究，正体现了“数”与“形”的结合。而正是由于毕达哥拉斯学派算术中采用了数形结合的观点，才推动了几何学的抽象化倾向。
2.3数形结合思想方法的重要性
数形结合思想方法在古代数学中就作为一种数学教学思想。刘徽在《九章算术》中注释的解题方法是“析理以辞，解体用图”，赵爽注释《周脾算经》时说“辄依经为图，以披露堂之奥”。以上说的正是数形结合思想方法的运用，“析理”即分析道理，在数学研究中，可认为分析问题，而分析问题正是需要运用脑部器官去思考的，因此这显示出了思维的作用；“解体用图”，即运用几何知识或图形去解决问题，以图助数正体现了数形结合思想方法在解决问题中的渗透，蕴含了运用动手操作的意味。“辄依经为图，以披露堂之奥”蕴含的意思也正是如此；可见，数形结合思想方法与思维的作用以及和其他各方面是紧密联系在一起的。 2.3.1建构小学数学教材内容
纵观小学数学教材，“数”与“形”占据着重要的地位。
首先，在小学阶段所学的数学基础知识的范围包括数量关系和空间形式两大部分，这也是数学学科知识中最基本的内容。其中数量关系是指数与数，量与量之间的内在联系和相依关系；空间形式是指物体的形状、大小和相互位置关系。[5]但空间形式在小学数学教学大纲中改称为“几何图形”，主要是由于小学阶段几何知识涉及的范围限制所致。
其次，教材在编排上注意并采用了数和形的结合。
几何初步知识结合认数与计算的内容适当地被分配在了各个年级的教学内容中。一方面利用几何图形的直观性加深学生对数的概念和计算方法的理解；另一方面结合认数与计算，逐步使学生认识一些几何形体的特征以及求积计算，这样使数形知识相互配合，达到知识间的融合与提高。此外，教材采用圆周式的编排方法，把数和形的每一方面内容，适当划分成几个阶段，使每一阶段内容的学习既有一定的重复，又各有新的要求，做到了螺旋上升。
由此可见，教材无论在知识范围抑或在编排体系上均渗透了数形结合思想方法。
2.3.2培养小学生的数学思维能力
朱智贤在《儿童心理学》一书中指出：“小学生思维发展的基本特点是以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式；但这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然是直接与感性经验相联系的，仍然具有很大成分的具体形象性。”[6]
在数形结合思想方法中，“数”的精确和“形”的直观以及“形”包含的具有可操作性的工具，不仅突出了具体形象性，而且在教学运用中是直接与学生的感性经验相联系的。从本质上讲，数形结合思想方法在小学数学教学中的渗透对小学生的数学思维能力的发展具有着深刻的影响作用。
第一， 能有效地培养与提高学生的形象思维能力。结合数形结合思想方法进行教学，首先就为学生在头脑中建立了大量的表象；其次通过教师的引导或直观实物的演示，更是丰富了学生的这一表象储备；然后学生运用建立起来的表象进行思考，启动形象思维。由此便有助于小学生的数学思维能力的发展。
第二， 学生形象思维能力的提高有利于学生更好地掌握知识。小学生在学习抽象的数学概念、法则和运算时，往往也要借助于形象思维来理解数和形的抽象的数量关系和空间关系。
第三， 数与形的结合，把形象思维与抽象思维有机地结合，同时促进了这两种思维能力同步发展，为小学生初步形成辩证思维能力创造了条件，从而促进其思维的发展。
2.3.3培养小学生的动手操作能力
数形结合思想方法在小学数学教学中的渗透能极大地提高学生的动手操作能力。
数形结合思想方法中“形”的工具性为小学生的动手操作提供了可能，这种效果似乎形成了视觉与运动神经的相互作用，和促进了动手与动脑的完美结合，无疑，这样对学生吸收与掌握知识是很有帮助的。
“在珠心算教学中，数符号的学习往往与算盘的联系活动结合起来学，有利于儿童对符号的理解与掌握。”[7]同样地，注重数形结合思想方法的教学中，强调学生的动手操作能力，能更好地帮助学生对几何图形或数量关系的认识与掌握，更加体现出数形结合思想方法的重要性。
3 渗透数形结合思想方法的有效教学
3.1注重教学的直观
直观是主体通过对直接感知到的教学材料的表层意义、表面特征进行加工，从而形成对有关事物的具体的、特殊的、感性的认识的加工过程。直观是理解科学知识的起点，是学生由不知到知的开端，是知识获得的首要环节。[8]
渗透数形结合思想方法的有效教学应该注重教学的直观。根据小学生的认知发展，在低年级，学生认数，离不开学具的操作；到高年级，学生同样需要增加学习实践的机会。通过动手操作，促进他们的动手与动脑相结合，提高数学能力。
新教材将数学知识分为“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四大领域，并将各领域知识有机结合，显示了知识间有一定的相互渗透。教材呈现出来的知识不仅注重学生的生活经验，甚至有些数学问题就是学生在日常生活中碰到的。此外，教材中丰富的生活素材更能激起学生的学习兴趣。因此，采用直观教学对于数学教学来说不仅是一项不错的举措，而且对于数形结合思想方法的渗透也起到了重要的促进作用，甚至对于提高学生的素质也起到了一定的作用。
3.1.1增加学生对美的体验，提高学生的鉴赏能力
直观教学为数形结合思想方法的渗透提供了展示的平台，在直观教学中可向学生提供直观化、形象化的教具、实物或教学课件。对于低年级学生来说，教师指导学生根据教学课件、表格或对话等收集信息显得比较重要，这就需要学生学会看图，读题，从中获取多方面信息，并选择有用的信息。在这一过程，必定会引起学生对直观形象的兴趣，从而在他们的头脑中形成美的形象。例如，在教学“平行四边形的面积”中，通过出示平行四边形图片，鼓励学生如何将平行四边形转化成学过的图形并思考运用所学过的知识来理解平行四边形的面积计算方法的过程中，让学生动手操作，通过自己的实际操作学生有可能将其分成一个梯形和一个直角三角形或两个直角三角形和一个长方形又或者其他别的图形，然后教师再引导“能不能将图形组合成我们学过的图形呢”，由此学生再通过想像与拼摆操作验证是否能转化成长方形。在这些实际操作中，学生不仅加深了对图形的认识，也增加了对美的认识，充分提升了他们的鉴赏能力。
3.1.2提高学生的绘画、具有再造图的能力
“展示教学内容中各种美的形象，符合学生形象思维强的特点，使学生在审视、感受、理解、再造形象美的过程中获得知、情、意、技、能的发展。”[9]在教学过程中，教师必定会使用许多直观图形、表格、示意图、线段图等来辅助教学，有时自然也需要学生在习得知识的过程中绘画出相应的图形、表格、示意图、线段图等。而在这种动手操作过程中，学生不仅亲身体验了数学活动，还充分启发思维活动，尝试再造图的体验。例如，五年级学生在学习“长方体和正方体的认识”后，个别学生即使已认识了长方体的一些特征，例如长方体有12条棱、6个面、8个顶点等，仍无法画出长方体的非透视图甚至无法想象出长方体的透视图。究其原因是学生缺乏整体感知与对图形中数量关系的准确认识。为解决这种情况，教师在教学时，可以通过示范、实验、合作、讨论、思考、探究等方法来增加学生的动手操作活动。例如可以先让学生准备实验小棒，用小棒代表长方体的棱长，12根小棒分长、宽、高三组，让学生思考如何围成一个长方体；然后根据长方体长、宽、高三条棱的长度，用手势比划一个长方体，并且想象出它与哪个实物相似；最后让学生将这个实物描画出来，教师继续引导学生总结三组棱长的数量关系，画出其透视图。 3.2正确使用“工具”
联系数形结合思想方法与教学的一个重要媒介即工具，这个工具是属于“形”中的重要内容的，因此选用何种工具和正确使用它是渗透数形结合思想方法的有效教学的重要方面之一。
3.2.1提供直观实物工具
小学数学教学为学生提供了众多的学具，有些学具在使用过程中能充分体现出数形结合思想方法。例如“圆面积求积模型”，这是一种用于推导圆面积的求积计算公式的教具；“多功能组合图形卡”，这是指导学生计算各种组织图形的面积，发展学生的空间观念和思维能力的学具；“几何图形卡”，是一种印有各种结合图形的、可帮助学生认数、计算的学具等等。教师应在教学过程中，结合学生的学具，恰当选择组织教学，让学生在动手操作过程中体会数形结合思想方法的好处。
3.2.2使用逻辑推理的教具
此外，教师还应根据教材内容的需要，深入钻研教材中的数形结合思想方法，借助合适的“工具”将其体现在教学过程中。例如常用直观图、示意图、点子图、线段图、韦恩图等。比如有的教师在讲解“解决问题”的有关应用题练习中，通过让学生读题，思考题中数量关系并用数学关系表示出来，接着鼓励学生自行画出线段图讨论其数量关系，在师生的共同探讨下，直观明了的线段图俨然成了一副解题的思路图与知识脉络图。
3.2.3借助现代科学技术，使用动态课件辅助
随着现代科学技术的进步，特别是电子计算机的发展，教育在改革和发展上呈现出了教育技术的现代化特点。
随之而来的便是在教学中多媒体课件的运用。多媒体课件作为一种视听综合媒体，其基本功能是以文字、图像来描述知识，以形象，生动的画面再现事物的现象、特征。使用多媒体课件，可以提高学生的学习兴趣和保持注意力。例如一位教师在讲“角的初步认识”这一课时，利用课件将生活中的物体、优美的图案，直观形象地展现出来，给学生以如见其物的感受。在观察实物中的角时，课件先显示一面色彩鲜艳的红领巾，再把它的三个角逐个闪动，最后把三个角同时闪动出来，告诉学生这些图形就叫做角。这样通过直观动态的画面，激发了学生的学习兴趣和求知欲，学生在和谐、愉快的氛围中对“角”这一概念有了充分的认识。又比如有教师在讲授“同面积的长方形与正方形的周长不一定相等”时，借助教学课件，播放具有相同速度的两个小孩在长方形与正方形草坪上的同一点起跑，同时绕其跑一圈。学生通过观察，形象地感知“两个面积相等的长方形与正方形的周长不一定相等”。
可见，教学课件在一定程度上方便了数形结合思想方法在教学中的运用，并促进了教学过程成功地进行。
3.3重视教师的研究者角色，深度研究教材
教师工作的对象是充满生命力的、千差万别的、活生生的人，传授的内容是不断发展变化的人文、科学知识。这就决定了教师要以一种变化发展的态度来对待自己的工作对象、工作内容，要不断学习、不断反思、不断创新。
而对于数形结合思想方法，教师通过深度研究教材，了解它在教材中是如何渗透的，就能明确教材为什么这么编写，也就能从整体上、本质上去理解教材，以较高的观点、角度去分析教材和处理教材，并科学地、灵活地设计教学方法，提高课堂教学效率。即要求教师要不断更新观念，从思想上，不断加深对数形结合思想方法的认识以及对其重要性的理解。
4 结束语
在小学数学教学中，作为教育工作者的一线教师，教师应依据具体情况在一段时间内渗透或明确介绍或突出体现数形结合思想方法。诚然，教师也应形成这样的认识：首先有必要弄清楚有关数形结合思想方法的一些概述，然后应明确对学生进行数学思想方法的渗透不是一朝一夕的，而是一个长期的过程。
综上所述，在小学数学教学中，要注意数形结合思想方法的渗透具有长期性与有效性。
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注释：
袁小明著.数学思想史导论[M].南宁：广西教育出版社.1991.03第一版：161.