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刘加霞
北京教育学院初等教育学院院长，教育心理学博士，教授，教育部国培专家库成员;提出“把握数学本质是一切教学法的根”“实证研究学生是有效教学的根本”“培训实質是改变与创新”等观点，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《课程·教材·教法》《中国教育学刊》《中小学管理》《人民教育》《小学数学教师》《小学教学》等期刊发表论文百余篇，著作有《小学数学有效教学》《小学数学有效学习评价》《小学数学课堂教学设计》等。
数学教育中常说的“度量”与著名历史事件——“统一度量衡”中的“度（dù）”“量（liànɡ）”二字以及人们在日常生活中所说的“测量”，既有联系又有区别。这里的度、量、衡分别指测量物体长度、容积、轻重三个方面属性的工具（标准）。测量主要指量的活动及过程。当下数学教育所说的“度量”（读作“duó liánɡ”）更能反映这个词汇的真正内涵：对事物某种属性进行比较与量化表达的学问。这个词强调通过测量或计算活动，不但能获知“量的大小（结果）”，更要理解“如何确定合适的测量单位或标准”。基于此，学生在测量过程中感悟数学思想方法、领悟数学原理的思考过程，就称为度量思维。
那么，度量思维的本质是什么？小学生的度量思维有哪些行为表现？度量的核心概念是“计量单位”，小学阶段所学“计量单位”的逻辑结构、逻辑起点是什么，是否有不同的进阶？为了回答这些问题，我们需要对“度量”一词追根溯源，分析课程标准要求并研究学生学习度量领域内容时的难点与思维路径。
一、度量思维的本质是确定测量单位与标准
从发生学角度看，度量源于比较，即事物某种可测属性与事先确定的单位或标准进行比较。被测量的事物里面包含的“单位”个数就是测量值。基于此，度量思维的本质是确定测量单位与评价标准。从语义学角度看，“度”的数学意义大于“量”的数学意义，即“度”蕴含着丰富的数学思想，“量”主要指测量的活动，是操作层面的内容。
1.追溯“度”的内涵演变，明晰度量思维的本质
通过查阅古汉语字典、现代汉语词典可知：“度（dù）”作为名词，其本义是“伸张两臂量的长短”，其长度叫作“一庹”。度也是尺丈的总称，即用来“齐物之短长”的工具，也被引申为“经过商谈后所得到的‘标准’”。度（duó）作为动词，本义指用“庹”测量的过程，又进一步引申为“研讨、商量‘标准’的过程”，例如谋度、揣度。
因此，数学教育中的“度量”一词应该读作“duó liánɡ”而不是“dù liánɡ”（量，作为动词读作“liánɡ”，作为名词读作“liànɡ”），与“度量衡”中的“度量”含义不同、读法也不同。度量思维的本质是“经过商量，确定‘标准’”的过程，这是针对可度量的属性而言。例如，面积的大小、声音的强弱、跑得快慢、视力的好坏等。任何一个待测量的量一定与一个确定的数（测量值）具备一一对应关系。
日常生活中，事物的某些属性不能被确定测量单位或标准，也就是说，不是任何属性都可度量。也有能够找到“标准”而不能用数值来表示“测量值”的事物，例如衡量军阶大小的上将、中将、少将、大校等。
2.人文科学中很多事物的属性不可度量
一般说来，自然科学领域的事物属性是可测量、可评价的。例如，人的视力是可度量的，是否近视、远视有相应的标准。然而，人文科学领域中的事物属性几乎都不好确定测量单位与衡量标准。例如，人的责任心、爱、忠诚、胸怀等属性，难以确定其测量单位或标准，是不可度量的。正如英国开尔文爵士所说：假如你能测量你所说的事物，并且把它用数值表示出来，那么你已了解该事物;假如你不能把该事物用数值表示，即表示你对该事物并不太了解，不管事物是什么，在思想上你已无法走上科学舞台。有了度量，这个世界才可被精确表达、被结构化（例如坐标系思想）。
二、小学生度量思维的行为表现及水平
小学生的度量思维主要体现在以下三个方面。
1.判断事物的某种属性是否可测量
从理论上看，度量思维首先应该体现在能够判断事物的哪些属性可度，哪些不可度，即是否有明确的测量单位或标准。这个问题过于深奥，是评判科学与非科学的一个指标，属于哲学层面的问题，不适合小学生尤其是低年级学生思考。如果学生到了高年级，尤其是学完所有关于量的内容之后，教师可以引导学生思考这个问题。例如，俞正强老师在执教六年级数学拓展课“度量天下”时，学生问“什么都可测量吗”，有一名学生说“我妈妈说，人心不可测”，由此引发学生进一步思考并举出现实生活中很多“不可测”的事物。思考可测与不可测问题是度量思维的最高级表现。
2.感悟测量单位的多样化与统一性
度量思维第二个方面的表现是商量并确定测量单位或评价标准的过程与创造、灵活选择测量工具进行测量。体验测量单位的多样性、统一性以及灵活选择合适的单位解决问题是度量思维的高阶表现。从历史上看，测量物体的长度时，可以自创单位;为了便于沟通交流，才定义标准单位——米;为了提升测量精度以及方便表达，人们又创造了厘米、分米、毫米及千米等单位。
值得注意的是，学生已经知道了测量长度的工具——各种尺子，以及国际标准单位——米、厘米等。那么，教学长度单元的第一课时，是否需要刻意让学生自创单位来量一量课桌有多长、教室有多长呢？笔者认为，第一课时不适合开展用自创测量单位进行测量的活动，而应该尊重学生的已有经验，教学认识直尺（认识厘米）并用直尺测量的内容。用身体上的尺子（如庹、拃、咫尺、步等）或自创其他单位测量物品长度的内容应该在拓展课上进行教学，引导学生根据测量需要灵活选择测量单位或标准。这样设计有助于提升学生的度量思维水平。
3.如何数、测或算出测量单位的个数
度量思维第三个方面的表现是如何数、测或算出测量单位的个数，能够评判数、测、算这三种方法的同与异，并根据现实需要灵活选择某种方法。后两者也是度量思维的高阶表现。例如，学生能判断有的问题用估测、估算即可解决，无需求出精确结果;会从数数、用工具测量或用公式计算中选择合适的方法、利用合适的单位获得测量值，以解决问题。 事实上，度量思维的每个方面的表现都有不同的层次水平，教学中不要求所有学生都达到“最高水平”。但由于义务教育课程标准没有清晰界定各层次水平的表现以及达到哪个水平算合格，即没有学习质量的评价标准;此外，各地区考试内容的难度系数与水平要求也不同。这两方面原因使教师的教学都是按照“最高标准”定位目标，导致学与教的负担加重。
三、小学阶段的量的类别、结构及认知基础
“常见的量”与“测量”是培养小学生度量思维的重要载体。课程标准对这些量的学习要求不同，其所承载的培养学生度量思维的价值也不同。
1.小学阶段的量的类别
小学阶段所涉及的量主要有三类：第一类是课程标准中所称的“常见的量（人民币、时间、质量）”。学习这个内容时，度量思维主要体现在第三个方面——如何数、测或算出测量单位的个数。比如，“时间”这个量的教学，课程标准只要求认识时间单位、掌握单位之间的进率关系和简单换算，并不需要学生讨论、商量时间单位的问题。
第二类是五种常用、常见的几何量，包括长度、面积、体积、容积、角度。度量思维的第二个、第三个方面的表现在这五种量的学习中都有相应要求。这五种几何量的度量结构相似，均以长度为基础。学习与对比分析这五种量的相同与不同都是培养学生度量思维的重要载体。
第三类是“导出的”量，例如密度、速度、单价、工效、浓度等。学习这类量时不强调培养学生的度量思维，重在掌握“三个量”之间的数量关系，以解决实际问题。
2.五种常见几何量的度量结构
小学阶段主要通过学习常见的几何量培养学生的度量思维。这类量的度量结构基本相同，如下图所示。
在小学阶段不讨论长度、面积、体积等是否可测，而是默认其可测。所以这些量都有计量单位，并且计量单位可以根据需要自定。为了表达与交流，需要创造标准的计量单位;为了表达方便、测量更准，需要创造更大或更小的单位。这促使标准单位体系的形成，以满足人们传播和交流度量结果的实际需求。
获知量的大小有四种方法：数计量单位的个数、用工具测量、用公式计算，以及将不规则物体转化为规则的可测量物体。通常我们所测量的都是连续的量，在测量过程中为了使测量结果更精准，需要不断地用更小的单位（将较大单位平均分成若干份以获得更小的测量单位）来测量，因此，没有最小的计量单位。基于此，度量的结果理应用分数表示，但由于分数既不是十进制的、也不是位值制的，不便于比较大小和计算，所以现实生活中我们基本都用有限小数表示测量结果。
3.长度是形成度量思维的认知基础
对多少的感知和对距离远近的感知这两种本能，是人能够度量的认知基础。也就是说，对“长度”的抽象与想象，即对一维空间的度量是形成度量思维的前提和基础。
度量物体的长度是建立前述度量结构的基础，是培养学生度量思维的源头。长度度量单位的产生和发展经历了漫长的时间，承载着度量单位由多元到统一、由粗略（自创单位）到精细（国际通用单位）的发展过程。求长度的方法主要是数单位个数与用尺子测量，没有计算公式。在长度的基础上“定义”面积、体积单位，这样在学习面积、体积内容时，就不需要让学生经历由“不统一单位”到“统一单位”的过程，直接用公式计算图形的面积、体积最方便快捷。
学习度量具有重要的现实意义和数學意义，有助于培养学生的创新意识和能力。例如，学生可以自制测量面积的工具，感悟面积计算公式与自创测量工具之间的本质联系，体会现实生活中没有测量面积的工具的合理性等。正如史宁中教授所说：度量是数学的本质，是人创造出来的数学语言，是人认识、理解和表达现实世界的工具。大数学家庞加莱也有过类似的论述：如果没有测量空间的工具，我们便不能构造空间。因此，培养学生的度量思维非常重要。
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北京教育学院初等教育学院院长，教育心理学博士，教授，教育部国培专家库成员;提出“把握数学本质是一切教学法的根”“实证研究学生是有效教学的根本”“培训实質是改变与创新”等观点，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《课程·教材·教法》《中国教育学刊》《中小学管理》《人民教育》《小学数学教师》《小学教学》等期刊发表论文百余篇，著作有《小学数学有效教学》《小学数学有效学习评价》《小学数学课堂教学设计》等。
数学教育中常说的“度量”与著名历史事件——“统一度量衡”中的“度（dù）”“量（liànɡ）”二字以及人们在日常生活中所说的“测量”，既有联系又有区别。这里的度、量、衡分别指测量物体长度、容积、轻重三个方面属性的工具（标准）。测量主要指量的活动及过程。当下数学教育所说的“度量”（读作“duó liánɡ”）更能反映这个词汇的真正内涵：对事物某种属性进行比较与量化表达的学问。这个词强调通过测量或计算活动，不但能获知“量的大小（结果）”，更要理解“如何确定合适的测量单位或标准”。基于此，学生在测量过程中感悟数学思想方法、领悟数学原理的思考过程，就称为度量思维。
那么，度量思维的本质是什么？小学生的度量思维有哪些行为表现？度量的核心概念是“计量单位”，小学阶段所学“计量单位”的逻辑结构、逻辑起点是什么，是否有不同的进阶？为了回答这些问题，我们需要对“度量”一词追根溯源，分析课程标准要求并研究学生学习度量领域内容时的难点与思维路径。
一、度量思维的本质是确定测量单位与标准
从发生学角度看，度量源于比较，即事物某种可测属性与事先确定的单位或标准进行比较。被测量的事物里面包含的“单位”个数就是测量值。基于此，度量思维的本质是确定测量单位与评价标准。从语义学角度看，“度”的数学意义大于“量”的数学意义，即“度”蕴含着丰富的数学思想，“量”主要指测量的活动，是操作层面的内容。
1.追溯“度”的内涵演变，明晰度量思维的本质
通过查阅古汉语字典、现代汉语词典可知：“度（dù）”作为名词，其本义是“伸张两臂量的长短”，其长度叫作“一庹”。度也是尺丈的总称，即用来“齐物之短长”的工具，也被引申为“经过商谈后所得到的‘标准’”。度（duó）作为动词，本义指用“庹”测量的过程，又进一步引申为“研讨、商量‘标准’的过程”，例如谋度、揣度。
因此，数学教育中的“度量”一词应该读作“duó liánɡ”而不是“dù liánɡ”（量，作为动词读作“liánɡ”，作为名词读作“liànɡ”），与“度量衡”中的“度量”含义不同、读法也不同。度量思维的本质是“经过商量，确定‘标准’”的过程，这是针对可度量的属性而言。例如，面积的大小、声音的强弱、跑得快慢、视力的好坏等。任何一个待测量的量一定与一个确定的数（测量值）具备一一对应关系。
日常生活中，事物的某些属性不能被确定测量单位或标准，也就是说，不是任何属性都可度量。也有能够找到“标准”而不能用数值来表示“测量值”的事物，例如衡量军阶大小的上将、中将、少将、大校等。
2.人文科学中很多事物的属性不可度量
一般说来，自然科学领域的事物属性是可测量、可评价的。例如，人的视力是可度量的，是否近视、远视有相应的标准。然而，人文科学领域中的事物属性几乎都不好确定测量单位与衡量标准。例如，人的责任心、爱、忠诚、胸怀等属性，难以确定其测量单位或标准，是不可度量的。正如英国开尔文爵士所说：假如你能测量你所说的事物，并且把它用数值表示出来，那么你已了解该事物;假如你不能把该事物用数值表示，即表示你对该事物并不太了解，不管事物是什么，在思想上你已无法走上科学舞台。有了度量，这个世界才可被精确表达、被结构化（例如坐标系思想）。
二、小学生度量思维的行为表现及水平
小学生的度量思维主要体现在以下三个方面。
1.判断事物的某种属性是否可测量
从理论上看，度量思维首先应该体现在能够判断事物的哪些属性可度，哪些不可度，即是否有明确的测量单位或标准。这个问题过于深奥，是评判科学与非科学的一个指标，属于哲学层面的问题，不适合小学生尤其是低年级学生思考。如果学生到了高年级，尤其是学完所有关于量的内容之后，教师可以引导学生思考这个问题。例如，俞正强老师在执教六年级数学拓展课“度量天下”时，学生问“什么都可测量吗”，有一名学生说“我妈妈说，人心不可测”，由此引发学生进一步思考并举出现实生活中很多“不可测”的事物。思考可测与不可测问题是度量思维的最高级表现。
2.感悟测量单位的多样化与统一性
度量思维第二个方面的表现是商量并确定测量单位或评价标准的过程与创造、灵活选择测量工具进行测量。体验测量单位的多样性、统一性以及灵活选择合适的单位解决问题是度量思维的高阶表现。从历史上看，测量物体的长度时，可以自创单位;为了便于沟通交流，才定义标准单位——米;为了提升测量精度以及方便表达，人们又创造了厘米、分米、毫米及千米等单位。
值得注意的是，学生已经知道了测量长度的工具——各种尺子，以及国际标准单位——米、厘米等。那么，教学长度单元的第一课时，是否需要刻意让学生自创单位来量一量课桌有多长、教室有多长呢？笔者认为，第一课时不适合开展用自创测量单位进行测量的活动，而应该尊重学生的已有经验，教学认识直尺（认识厘米）并用直尺测量的内容。用身体上的尺子（如庹、拃、咫尺、步等）或自创其他单位测量物品长度的内容应该在拓展课上进行教学，引导学生根据测量需要灵活选择测量单位或标准。这样设计有助于提升学生的度量思维水平。
3.如何数、测或算出测量单位的个数
度量思维第三个方面的表现是如何数、测或算出测量单位的个数，能够评判数、测、算这三种方法的同与异，并根据现实需要灵活选择某种方法。后两者也是度量思维的高阶表现。例如，学生能判断有的问题用估测、估算即可解决，无需求出精确结果;会从数数、用工具测量或用公式计算中选择合适的方法、利用合适的单位获得测量值，以解决问题。 事实上，度量思维的每个方面的表现都有不同的层次水平，教学中不要求所有学生都达到“最高水平”。但由于义务教育课程标准没有清晰界定各层次水平的表现以及达到哪个水平算合格，即没有学习质量的评价标准;此外，各地区考试内容的难度系数与水平要求也不同。这两方面原因使教师的教学都是按照“最高标准”定位目标，导致学与教的负担加重。
三、小学阶段的量的类别、结构及认知基础
“常见的量”与“测量”是培养小学生度量思维的重要载体。课程标准对这些量的学习要求不同，其所承载的培养学生度量思维的价值也不同。
1.小学阶段的量的类别
小学阶段所涉及的量主要有三类：第一类是课程标准中所称的“常见的量（人民币、时间、质量）”。学习这个内容时，度量思维主要体现在第三个方面——如何数、测或算出测量单位的个数。比如，“时间”这个量的教学，课程标准只要求认识时间单位、掌握单位之间的进率关系和简单换算，并不需要学生讨论、商量时间单位的问题。
第二类是五种常用、常见的几何量，包括长度、面积、体积、容积、角度。度量思维的第二个、第三个方面的表现在这五种量的学习中都有相应要求。这五种几何量的度量结构相似，均以长度为基础。学习与对比分析这五种量的相同与不同都是培养学生度量思维的重要载体。
第三类是“导出的”量，例如密度、速度、单价、工效、浓度等。学习这类量时不强调培养学生的度量思维，重在掌握“三个量”之间的数量关系，以解决实际问题。
2.五种常见几何量的度量结构
小学阶段主要通过学习常见的几何量培养学生的度量思维。这类量的度量结构基本相同，如下图所示。
在小学阶段不讨论长度、面积、体积等是否可测，而是默认其可测。所以这些量都有计量单位，并且计量单位可以根据需要自定。为了表达与交流，需要创造标准的计量单位;为了表达方便、测量更准，需要创造更大或更小的单位。这促使标准单位体系的形成，以满足人们传播和交流度量结果的实际需求。
获知量的大小有四种方法：数计量单位的个数、用工具测量、用公式计算，以及将不规则物体转化为规则的可测量物体。通常我们所测量的都是连续的量，在测量过程中为了使测量结果更精准，需要不断地用更小的单位（将较大单位平均分成若干份以获得更小的测量单位）来测量，因此，没有最小的计量单位。基于此，度量的结果理应用分数表示，但由于分数既不是十进制的、也不是位值制的，不便于比较大小和计算，所以现实生活中我们基本都用有限小数表示测量结果。
3.长度是形成度量思维的认知基础
对多少的感知和对距离远近的感知这两种本能，是人能够度量的认知基础。也就是说，对“长度”的抽象与想象，即对一维空间的度量是形成度量思维的前提和基础。
度量物体的长度是建立前述度量结构的基础，是培养学生度量思维的源头。长度度量单位的产生和发展经历了漫长的时间，承载着度量单位由多元到统一、由粗略（自创单位）到精细（国际通用单位）的发展过程。求长度的方法主要是数单位个数与用尺子测量，没有计算公式。在长度的基础上“定义”面积、体积单位，这样在学习面积、体积内容时，就不需要让学生经历由“不统一单位”到“统一单位”的过程，直接用公式计算图形的面积、体积最方便快捷。
学习度量具有重要的现实意义和数學意义，有助于培养学生的创新意识和能力。例如，学生可以自制测量面积的工具，感悟面积计算公式与自创测量工具之间的本质联系，体会现实生活中没有测量面积的工具的合理性等。正如史宁中教授所说：度量是数学的本质，是人创造出来的数学语言，是人认识、理解和表达现实世界的工具。大数学家庞加莱也有过类似的论述：如果没有测量空间的工具，我们便不能构造空间。因此，培养学生的度量思维非常重要。
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