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[摘 要]数学教学中，教师应把握学生已有的认知起点，既要巧妙激发学生的学习兴趣，为学生搭建探究的平台，又要引导学生“亲历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”，使学生对所学知识能“知其所以然”，从而积累数学活动经验，感悟基本的数学思想方法。
[关键词]面积 认知冲突 平行四边形 束缚 思想方法 计算公式
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）17-018
纵观众多的“平行四边形的面积”教学设计，存在着一个共性问题，即教师对教学过程的定位纯粹是为了让学生推导出平行四边形的面积计算公式，一旦学生得到结论，“过程”也就成为了“过去”。这样教学，学生的思维会被束缚，得不到发展。推导平行四边形的面积计算公式并不是学习的关键，也不是这堂课的“结尾”，所以教师不要在公式上徘徊，应通过转化思想，促使学生能够自觉地进行学习过程的回顾，实现对所学知识能融会贯通的目的。
一、观摩过程
我以最近听到的“平行四边形的面积”教学片断以及课后追踪测试情况为例，说明该课教学中存在的共性问题。
1.教学片断
师：今天这节课，我们一起来学习平行四边形的面积计算。（板书课题）
师：我们来当个小小魔术师，做一个“变一变”的小游戏。（出示一个不规则图形）我们能用学过的面积公式来求出它的面积吗？能把它转化成学过的图形吗？（生用割补法将不规则图形转化为长方形，求出面积）
师：能用同样的方法，把一个平行四边形转化成长方形吗？（生运用割补法将平行四边形转化为长方形并求出面积，最后师生一起推导出平行四边形的面积计算公式）
2.课后测试
第三天，我出了几道题目进行课后跟踪测试（如上表），并进行正确率的统计，发现变式题（2）和拓展题的正确率出乎意料的低。于是我找一些学生进行访谈，他们的回答都是一致的：没有底和高，怎样比较面积的大小？
二、回望教学
回顾上述教学过程，既有环环相扣的探究环节，又有热热闹闹的体验活动，但学生脑海中留下的却只有结论性知识，即平行四边形的面积计算公式。分析其原因，是教学过程中存在着多重束缚。
1.被束缚的引入
在未学习平行四边形的面积计算公式前，有近三分之二的学生误用“底边×邻边”来计算平行四边形的面积。阅读很多的教学设计，教师往往无视于学生的这一已有认知起点，创设“比较长方形和平行四边形两块地的大小”等情境来引出平行四边形的面积计算。这样的引入虽然衔接了新的知识，但情境具有强烈的暗示性，相当于把例题中所蕴含的重要思想方法——转化提前显露，导致正式教学例题时，学生会很快地说出“将平行四边形转化成长方形”。因此，这样的教学引入，没有思考的价值。
2.被束缚的探究
人教版配套教学参考书上写有一句话“探究平行四边形的面积计算公式是本课教学的重点”，于是很多教师都把这一探究过程设计得完美无缺，并将探究定位为推导出平行四边形的面积计算公式，而没有把公式的推导当作一个具体问题的解决过程，让学生真切地感受其中隐含的转化的思想方法。这样一节课下来，导致学生对丰富的过程性知识如过眼云烟，脑海中留存的只是一些结论性知识，即平行四边形的面积计算公式。
3.被束缚的应用
公式推导出来之后，很多教师怕学生忘记公式，在计算平行四边形的面积时都要写上“S=ah”，或者在总结的时候问这样一个问题“谁能说一说，要想求平行四边形的面积就必须知道什么条件”。这样教学会使学生形成思维定式：只要遇到求平行四边形面积的问题，就必须找到平行四边形的底和高；如果找不到底和高，就求不出平行四边形的面积。所以，在完成前面的练习时，学生的解释是“没有底和高，怎么比较面积的大小”，从而导致学生在解题时完全依赖于模仿，思维被公式束缚。
三、重构课堂
基于以上分析，我重新设计了以下教学过程，以期能够更好地解决教学中存在的问题。
1.引起冲突——将引入解缚
师（出示右图）：请试着求出这个平行四边形的面积。 （生尝试，师巡视，指名用不同方法计算的学生到黑板上板演）
方法（1）：7×4=28（cm）2；方法（2）：（4 7）×2=22 （cm）2；方法（3）：7×5=35（cm）2。
师：这三种方法的答案都不一样，肯定有方法错了，我们来分析一下是哪种方法错了。
生1：老师，第（2）种方法错了，这种方法是用来求平行四边形的周长的。
师：平行四边形的周长在哪？谁能上来指一指？（生上台指出平行四边形的周长）
师：看来，方法（2）确实是错了，我们把它擦掉。那么，方法（1）和方法（3）的答案也不一样呀，肯定还有一种方法是错的，那又是哪一种呢？
生2：认为方法（1）和方法（3）错误的同学都有，但认为方法（3）对的同学多一些。 ……
2.自学知识——将探究解缚
（1）搜索与思辨。
师：你们认为方法（3）是对的，为什么？
生3：因为长方形的面积=长×宽，而平行四边形能拉成长方形，拉好以后，平行四边形的一条底边相当于长方形的长，另一条底边相当于长方形的宽，所以平行四边形的面积=底边×另一条底边，我可以拉给大家看。（师把一个活动的平行四边形框架递给学生，生试拉）
师：另一条底边我们叫它邻边。那么，你们认为平行四边形的面积=底边×邻边？
生：是的。（这时有更多的学生开始附和）
生4：不对。老师，把平行四边形拉成长方形后，周长不变，但面积变小了，这个知识点我们在四年级时学过。
师：是吗？那么，这两种意见究竟谁对？我们来拉一拉。（师和一名学生操作：把平行四边形框架拉成长方形，并分别描下这两个图形的轮廓，得到右图）
师：这两个图形的面积大小一样吗？
生5：不一样，变大了。把长方形左边这一块补到平行四边形的右边，即使刚好补满，长方形还是比平行四边形多出了上面一小块，所以面积变大了。
师：说得很好。这说明把平行四边形拉成长方形，面积变大了，不能用长方形的面积来代替平行四边形的面积。（多媒体再次演示这一过程）
生6：看来，平行四边形的面积不能用“底边×邻边”的方法计算，那应该怎么计算呢？
……
（2）验证与归纳。
师：方法（3）也不对，那么只有方法（1）对了，难道这样就能证明方法（1）对了吗？
生7：不行，需要验证，可以把平行四边形剪拼成长方形。（生动手剪拼，完成后反馈剪拼的过程）
生8：通过转化，可以把这个平行四边形看成是长为7厘米、宽为4厘米的长方形，所以7×4=28（cm）2是对的。
师总结得出：
3.延伸思想——将应用解缚
（1）计算下面各图形的面积。（单位：cm）
反馈：分别可以把上面两个平行四边形看成是怎样的长方形？
（2）一个平行四边形的底是4厘米、高是3厘米，面积是多少？动手画一画，发现什么？（学生作品如下图）
师：为什么这几个平行四边形的形状不一，面积都是相等的？
师将所有的平行四边形弄成同底等高的情况（如下图），并出示一个长为4厘米、宽为3厘米的长方形，说明这些平行四边形都可以转换为这样一个长方形，所以面积是相等的。
……
在得出平行四边形的面积计算公式后，教师并没有在公式的运用上徘徊，而是在练习中渗透转化思想，都促使学生在解决中自觉地回顾学习过程。这样教学，学生学到的不仅是一种方法，而是一种思想。重构的教学过程，学生解决问题时不再依赖记忆和模仿，并使学生的思维得到发展。
总之，课堂教学中，教师应尊重学生已有的认知起点，不断激发学生的学习兴趣，引导学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程。同时，教师要引导学生回顾学习过程，促进他们对数学知识本质的理解，达到活学、活用的目的。
（责编 杜 华）
[关键词]面积 认知冲突 平行四边形 束缚 思想方法 计算公式
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）17-018
纵观众多的“平行四边形的面积”教学设计，存在着一个共性问题，即教师对教学过程的定位纯粹是为了让学生推导出平行四边形的面积计算公式，一旦学生得到结论，“过程”也就成为了“过去”。这样教学，学生的思维会被束缚，得不到发展。推导平行四边形的面积计算公式并不是学习的关键，也不是这堂课的“结尾”，所以教师不要在公式上徘徊，应通过转化思想，促使学生能够自觉地进行学习过程的回顾，实现对所学知识能融会贯通的目的。
一、观摩过程
我以最近听到的“平行四边形的面积”教学片断以及课后追踪测试情况为例，说明该课教学中存在的共性问题。
1.教学片断
师：今天这节课，我们一起来学习平行四边形的面积计算。（板书课题）
师：我们来当个小小魔术师，做一个“变一变”的小游戏。（出示一个不规则图形）我们能用学过的面积公式来求出它的面积吗？能把它转化成学过的图形吗？（生用割补法将不规则图形转化为长方形，求出面积）
师：能用同样的方法，把一个平行四边形转化成长方形吗？（生运用割补法将平行四边形转化为长方形并求出面积，最后师生一起推导出平行四边形的面积计算公式）
2.课后测试
第三天，我出了几道题目进行课后跟踪测试（如上表），并进行正确率的统计，发现变式题（2）和拓展题的正确率出乎意料的低。于是我找一些学生进行访谈，他们的回答都是一致的：没有底和高，怎样比较面积的大小？
二、回望教学
回顾上述教学过程，既有环环相扣的探究环节，又有热热闹闹的体验活动，但学生脑海中留下的却只有结论性知识，即平行四边形的面积计算公式。分析其原因，是教学过程中存在着多重束缚。
1.被束缚的引入
在未学习平行四边形的面积计算公式前，有近三分之二的学生误用“底边×邻边”来计算平行四边形的面积。阅读很多的教学设计，教师往往无视于学生的这一已有认知起点，创设“比较长方形和平行四边形两块地的大小”等情境来引出平行四边形的面积计算。这样的引入虽然衔接了新的知识，但情境具有强烈的暗示性，相当于把例题中所蕴含的重要思想方法——转化提前显露，导致正式教学例题时，学生会很快地说出“将平行四边形转化成长方形”。因此，这样的教学引入，没有思考的价值。
2.被束缚的探究
人教版配套教学参考书上写有一句话“探究平行四边形的面积计算公式是本课教学的重点”，于是很多教师都把这一探究过程设计得完美无缺，并将探究定位为推导出平行四边形的面积计算公式，而没有把公式的推导当作一个具体问题的解决过程，让学生真切地感受其中隐含的转化的思想方法。这样一节课下来，导致学生对丰富的过程性知识如过眼云烟，脑海中留存的只是一些结论性知识，即平行四边形的面积计算公式。
3.被束缚的应用
公式推导出来之后，很多教师怕学生忘记公式，在计算平行四边形的面积时都要写上“S=ah”，或者在总结的时候问这样一个问题“谁能说一说，要想求平行四边形的面积就必须知道什么条件”。这样教学会使学生形成思维定式：只要遇到求平行四边形面积的问题，就必须找到平行四边形的底和高；如果找不到底和高，就求不出平行四边形的面积。所以，在完成前面的练习时，学生的解释是“没有底和高，怎么比较面积的大小”，从而导致学生在解题时完全依赖于模仿，思维被公式束缚。
三、重构课堂
基于以上分析，我重新设计了以下教学过程，以期能够更好地解决教学中存在的问题。
1.引起冲突——将引入解缚
师（出示右图）：请试着求出这个平行四边形的面积。 （生尝试，师巡视，指名用不同方法计算的学生到黑板上板演）
方法（1）：7×4=28（cm）2；方法（2）：（4 7）×2=22 （cm）2；方法（3）：7×5=35（cm）2。
师：这三种方法的答案都不一样，肯定有方法错了，我们来分析一下是哪种方法错了。
生1：老师，第（2）种方法错了，这种方法是用来求平行四边形的周长的。
师：平行四边形的周长在哪？谁能上来指一指？（生上台指出平行四边形的周长）
师：看来，方法（2）确实是错了，我们把它擦掉。那么，方法（1）和方法（3）的答案也不一样呀，肯定还有一种方法是错的，那又是哪一种呢？
生2：认为方法（1）和方法（3）错误的同学都有，但认为方法（3）对的同学多一些。 ……
2.自学知识——将探究解缚
（1）搜索与思辨。
师：你们认为方法（3）是对的，为什么？
生3：因为长方形的面积=长×宽，而平行四边形能拉成长方形，拉好以后，平行四边形的一条底边相当于长方形的长，另一条底边相当于长方形的宽，所以平行四边形的面积=底边×另一条底边，我可以拉给大家看。（师把一个活动的平行四边形框架递给学生，生试拉）
师：另一条底边我们叫它邻边。那么，你们认为平行四边形的面积=底边×邻边？
生：是的。（这时有更多的学生开始附和）
生4：不对。老师，把平行四边形拉成长方形后，周长不变，但面积变小了，这个知识点我们在四年级时学过。
师：是吗？那么，这两种意见究竟谁对？我们来拉一拉。（师和一名学生操作：把平行四边形框架拉成长方形，并分别描下这两个图形的轮廓，得到右图）
师：这两个图形的面积大小一样吗？
生5：不一样，变大了。把长方形左边这一块补到平行四边形的右边，即使刚好补满，长方形还是比平行四边形多出了上面一小块，所以面积变大了。
师：说得很好。这说明把平行四边形拉成长方形，面积变大了，不能用长方形的面积来代替平行四边形的面积。（多媒体再次演示这一过程）
生6：看来，平行四边形的面积不能用“底边×邻边”的方法计算，那应该怎么计算呢？
……
（2）验证与归纳。
师：方法（3）也不对，那么只有方法（1）对了，难道这样就能证明方法（1）对了吗？
生7：不行，需要验证，可以把平行四边形剪拼成长方形。（生动手剪拼，完成后反馈剪拼的过程）
生8：通过转化，可以把这个平行四边形看成是长为7厘米、宽为4厘米的长方形，所以7×4=28（cm）2是对的。
师总结得出：
3.延伸思想——将应用解缚
（1）计算下面各图形的面积。（单位：cm）
反馈：分别可以把上面两个平行四边形看成是怎样的长方形？
（2）一个平行四边形的底是4厘米、高是3厘米，面积是多少？动手画一画，发现什么？（学生作品如下图）
师：为什么这几个平行四边形的形状不一，面积都是相等的？
师将所有的平行四边形弄成同底等高的情况（如下图），并出示一个长为4厘米、宽为3厘米的长方形，说明这些平行四边形都可以转换为这样一个长方形，所以面积是相等的。
……
在得出平行四边形的面积计算公式后，教师并没有在公式的运用上徘徊，而是在练习中渗透转化思想，都促使学生在解决中自觉地回顾学习过程。这样教学，学生学到的不仅是一种方法，而是一种思想。重构的教学过程，学生解决问题时不再依赖记忆和模仿，并使学生的思维得到发展。
总之，课堂教学中，教师应尊重学生已有的认知起点，不断激发学生的学习兴趣，引导学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程。同时，教师要引导学生回顾学习过程，促进他们对数学知识本质的理解，达到活学、活用的目的。
（责编 杜 华）