摘要 利用一种基于符号计算的代数方法，结合 Maple环境中的 Epsilon软件包，求解Klein-Gordon 方程，获得了若干其它方法不曾给出的形式更为丰富的新的显式行波解，其中包括孤波解、三角函数解、Jacobi椭圆函数周期解和Weierstrass椭圆函数周期解.本文用F-展开法求得Klein-Gordon 方程的新周期波解和孤波解.
　　关键词 Klein-Gordon 方程；Jacobi椭圆函数周期解；三角函数解
　　【分类号】：O175.29
　　1. 引言
　　非线性波方程被广泛的应用于物理、工程技术和数学的众多分支当中，如非线性光学、量子论、流体力学、弹性理论和凝聚态物理等.随着非线性科学的蓬勃发展.传统的求解非线性波方程的方法主要有逆散射法， Ba cklund法， Darboux变换法， Hirota双线性法[1]， Painlevé 展开法等.近年来 ，结合计算机代数和符号计算，人们发展了许多求解非线性波方程的新方法，如双曲函数法[2]，齐次平衡法[3]， Jacobi椭圆函数展开法[4]，包络变换法[5]，ADM方法和利用分支理论直接积分的方法等.最近，一种新的基于符号计算的代数方法，与绝大多数方法相比，该方法不仅可用于构造各种行波解，包括孤波解、三角函数周期解、有理函数解、Jacobi和 Weierstrass椭圆函数周期解.
　　2.Klein-Gordon 方程的新解
　　为了求 Klein-Gordon 方程
　　（1）
　　的解，设
　　， （2）
　　把（2）代入（1），得
　　， （3）
　　设 为的函数：
　　， （4）
　　而 满足：
　　. （5）
　　把（4）和（5）代入（3）并整理，得
　　（6）
　　令的系数为零，得
　　（7）
　　（8）
　　（9）
　　解方程组（7）-（9），得
　　，为任意常数. （10）
　　容易验证辅助方程（5）有如下解：
　　（1）若，，时：
　　（2）若，，时：
　　得到Klein-Gordon 方程的Jacobi椭圆函数解为：
　　其中.
　　当时，可以得到Klein-Gordon 方程的双曲函数解：
　　当时， 可以得到Klein-Gordon 方程的三角函数周期解：
　　参考文献：
　　[1] 傅海明，戴正德.（3+1）维孤子方程的周期孤波解[J].东北师范大学学报：自然科学版，2011，43 （1）：16-19.
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