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【摘要】复习课是小学数学教学中的一个重要环节，是小学生进一步理解、掌握、巩固和运用所学知识的系统化过程，在小学数学学习活动中起着承前启后的作用。本文从教与学两个维度对运用可视化思维工具提升小学数学复习课效能，促进学生思维的发展进行了一些思考和探索。
【关键词】可视化思维工具;思维导图;数学复习课效能
复习课是小学数学教学中的一个重要环节，它是小学生进一步理解、掌握、巩固和运用所学知识的系统化过程，在小学数学教学活动中处于承前启后的作用。但复习课又是一直困扰教师的课型，存在“费时费力，上成练习课，欠缺知识的纵横联系，收效较低”等问题。如何上好复习课，借助可视化思维工具能很好地解决以上问题，拓展学生的思维，提高数学复习课的效能。
一、数学复习课为什么要利用可视化思维工具
有效的复习课应该有“回忆、整理、反思、升华”这四个要素，但在实际的教学活动中不一定得到真正的落实，复习课上成了练习课或讲评课的比比皆是。小学生生性活泼好动，对沉闷枯燥的讲解和练习往往不感兴趣，仅仅是在老师的主导下听和练，课堂学习效率较低。那么，如何上好小學数学复习课，提高小学数学复习课的效能？我认为利用可视化思维工具，提升小学数学复习课的效能主要考虑以下两个问题：1.对于老师，如何利用可视化思维工具进行教学，提升复习课的效能。2.对于学生，如何利用可视化思维工具自主建构知识网络，不断更新自身思考内容，提升高阶思维能力。
可视化思维工具，是指图形化的思考工具和利用计算机构建思维导图的创作工具。常用的图形化的思考工具主要有：思维导图（如韦恩图、Y/X/W线图、鱼骨图、金字塔图）、PMIQ反思表格等，不同的思维工具发挥着不同的作用，具体选用哪种思维工具要根据学习的目的和内容及学生的发展水平而定。在小学数学复习课中，师生共同利用可视化思维工具进行思考、学习、表达和评价，使这些工具发挥不同的作用：①在课前准备阶段，师生通过思维导图把已学的知识回忆、整理，实现知识点联系的可视化。②在教学活动中，对师生思考的问题和想法进行分析和归纳解决问题，建立新联系，创造新知识。③在课后总结阶段，通过PMIQ反思表的展示，实现知识的分享，便于师生之间的评价和反馈。
二、可视化思维工具——思维导图的作用
思维是一个抽象的过程，如何引导学生更深入地进行思考，特别是在一个单元知识学习完后，让学生通过自己的整理、归纳沟通知识的纵、横向联系，形成自己的知识系统转变为自我的能力，可视化思维工具的应用能在课堂教学中提升学生的高阶思维。
应用思维导图进行小学数学复习教学，可以改变以传授知识为主导的课堂教学模式，改为以能力培养为主导，特别是以创新能力为主导的教学模式，保持和激发孩子们学习的兴趣，发散他们的思维力，让他们自主学习。兴趣、自主、思维、创造是学习的宝法。先要有兴趣，然后让孩子们自主，才能发展思维，才能有创造。
思维导图作为一种教的策略，能辅助教师改进教学。教师运用思维导图可以更清晰地呈现教学内容和理顺教学思路，还能设计更有创意的教学活动，培养学生的创新思维能力，促进高效课堂。作为一种学习的策略，思维导图的创作过程包含了与创造力培养的相关技巧，学生在有趣的思维导图创作过程中找到学习的乐趣，学生学会梳理知识、分析问题、解决问题，拓展学生思维的广度，让学生自学、爱学、乐学，培养了学生发散性思维与创新思维能力，提高学习的兴趣。应用思维导图进行教与学，可以提高学生创新思维和自主学习的意识，便于学生的识记及复习，将自己知觉、思考或感觉到的信息进行编码内化为自我的能力。这样有利于培养学生的创新思维能力，从而提高数学复习课的效能。
三、可视化思维工具在小学数学复习课中的实践
小学数学复习课知识点较多、综合性较强、灵活性较大。针对数学复习课的特点，我参考可视化思维工具的相关理论和实验研究，利用不同的思维导图、PMIQ反思表等可视化思维工具进行教学实践。下面就人教版数学四年级下册《三角形知识》的主题教学复习课，从教师的教和学生的学两个维度来分析如何运用可视化思维工具，拓展学生的思维能力，培养数学高阶思维，提升数学复习课的效能。
（一）课前准备——绘制思维导图，梳理知识
复习课前教师利用思维导图进行备课。例如，对“三角形知识”这个单元的知识进行复习时，我根据学生的基础和小学生的认知特点精心设计探究活动，首先用思维导图的方式对三角形的知识脉络进行梳理，整体把握本单元的知识结构，深挖教材内涵，这样在上课时才能做到胸有成竹。同时在复习课前要求学生自行绘制思维导图。用思维导图把“三角形知识”的知识进行梳理并内化到已有的认知当中。由于思维导图具有图文并茂的特点，在绘制的过程中，学生不仅能够对“三角形的特性、边、角、高、内角和”整个单元的知识点进行梳理和串联，还可以从中获得绘画的乐趣，整理的过程还提出问题，留待上课时进行研讨。
（二）课中研讨——小组交流，理清思维
1.梳理——利用思维导图梳理，构建知识体系
复习课的重点是梳理知识间的逻辑关系。首先用微课展示本节课的知识点，再采用了课前思维导图小组交流探索，选一个作品展示，让学生讲述自己思维导图的制作思路，描述三角形的知识点，老师及时引导学生对这个思维导图进行完善，在这个过程中，教师要引导学生回忆和理解本单元的相关概念，纠正易错的知识点，理清各知识点层级的关系，构建完整的知识网络图。实际上就是学生理清思维、构建新的知识体系的过程。
2.练习——利用思维导图解决问题，培养数学思维
复习课中的练习与练习课中的练习是不同的，练习课的练习是新授课中用来巩固数学基础知识和形成技能技巧;而复习课中的练习重点突出对知识的综合运用，重在通过综合问题的解决来培养学生的解决问题的能力和高阶思维。课中我采用自主探究，小组讨论、合作交流、实践操作相结合的学习方式，并适当地应用课件辅助教学，让学生通过动脑、动口、动手来亲身经历用数学的过程，再设计恰当的练习进行巩固提升。对于小学生来讲，数学题目有时是比较抽象的。思维导图可以将抽象的问题以形象化的图示表示出来使抽象的数学问题变得直观形象。例如，在这个单元中有一道题比较难的解决问题的题目：小明把一个用铁丝做成的边长是20厘米的正方形拉直，再围成一个腰是16厘米的等腰三角形，这个三角形的底边长多少厘米？对于这道题，大多数四年级的学生刚开始不能把握题目的条件与问题之间的关系，因此，我引导学生根据题意画出图形，然后再明确问题是求哪一边的长度。通过这样的分析、画图、辨析学生能找准解决问题的方法。 利用思维导图解决问题可以使解决问题的角度更加多样化，使学生在解题中形成发散性思维和开放性思维，培养高阶思维。例如，鸡兔同笼是人教版数学广角中的内容，属于奥数经典题型，对学生有一定难度，特别是教材中重点突出的假设法解答，学生理解起来非常困难。在教学中，除了教学列表法、假设法、抬脚法等方法外，我引导学生用画图法，课后发现这种方法更适合于数学学困生。如下图：
2.笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有5个头，从下面数有16只脚，鸡和兔各有几只？
3.反思——利用PMIQ反思表，自我反思
荷兰数学教育家弗莱登塔尔说“反思是数学思维活动的核心和动力。”在复习课上，教师要有意识地培养学生的自我反思能力。教师在课堂总结时引导学生填写PMIQ反思表格进行学习内容和过程的评价，在学生完成PMIQ反思表后，由小组代表汇报本组的反思表，交流在学习过程中已經学会的（P），尚未学会的（M），还希望学习的知识（I），以及还不清楚的疑问（Q）。这样，从学生对PMIQ思维导图的讲述、分析中，感知学生对三角形的概念，三角形的稳定性、三角形的分类、三角形的内角和及其在生活中的应用，画三角形的高都能熟练掌握。特别是复习画特殊三角形的高（如直角三角形、钝角三角形）时在生生互动升华的过程中学生找不到如何画钝角三角形一个锐角到对边的高时，让学生充分发表多种见解，让思维升华，碰撞火花，培养了高阶思维能力。
如何让学生的思维活跃起来，真正投入到复习课中的头脑风暴中，问题是最好的助推器。在这一环节，师生主要解决的是小组代表中提出来的比较有价值的问题。如：1.是不是每个不规则的图形转化成规则图形后，面积都不变？2.还有什么方法可以算鸡兔同笼类型的题目等问题？3.在植树问题中如利用间距求种树棵树等等。从自我评价反思这一环节扩大了学生知识共享与知识建构的深度和广度，起到了复习课上“温故知新”的作用。
（三）课后学习——合理利用，提高复习效率
由于课堂时间有限，课后将全班同学的PMIQ反思表收集起来，作为教学反思资料，及时了解学生的学习程度和学习效果，把学生提出来尚未解决的问题再解决，这样还可以有效的整合教学资源。再指导学生课后把修改完善的思维导图和PMIQ反思表，作为总复习的学习资料。例如，学生可以在期末复习时快速地浏览思维导图和PMIQ反思表，温故知新，提高数学复习的效能。
四、应用可视化思维工具提升小学数学复习课的效能
《国家教育信息化十年发展规划》中提出推进教育信息化应该坚持“深度融合，引领创新”的思路。可视化学习是一种独特的创新性学习活动，它充分利用知识可视化学习资源，通过思维可视化工具进行分析思考，利用数据可视化方法进行评价，促进学生的个性化学习能力发展，改变学习的方式。应用可视化思维工具教学还可以探究出“可视化学习教学模型”，培养学生利用资源、思考探究、互动交流、知识重构等个性化学习能力。
可视化思维工具在小学数学复习课中有较强的应用性，在一定程度上促进了教学方式的改变。一方面，教师利用可视化思维工具可以更深入的解读小学数学教材，提高专业素养。通过思维导图的应用加深对学生的了解，教师在课堂上更有的放矢，明确学生存在的主要问题，灵活使用教与学的方式，便于拓展学生的数学思维。[]另一方面，由于可视化思维工具符合小学生的思维和认知习惯，能有效的调动学生自主参与复习课学习的积极性，教师为学生提供简单有趣的复习方法，从自学、观察、探究、互动中培养学生的散发思维，从而提升了小学数学复习课的效率。
实践在推进，我们还在不断探究应用思维导图和PMIQ反思表的评价方式，探究教师在复习课中的教学策略，探究其他可视化思维工具在数学复习课中的利用等等，这些问题的进一步研究有助于推进可视化思维工具更好的应用于小学数学复习课的教学，提升复习课的效能。
国民素质决定国家竞争力，国民的核心素养决定一个国家的核心竞争力与国际地位。“21世纪素养”框架确立了三项技能领域：（1）学习与创新技能。包括批判性思维和问题解决能力、创造性和创新能力、交流与合作能力。（2）信息、媒体与技术技能。包括信息素养、媒体素养、信息交流和科技素养。（3）生活与职业技能。包括灵活性和适应性、主动性和自我指导、社会和跨文化技能、工作效率和胜任工作的能力、领导能力和责任能力。通过可视化学习，应用可视化思维工具进行教学，培养学生具备21世纪人才要求的素养。
参考文献：
[1]徐爱芝，兰石桂.关于小学数学复习课教学有效性的思考[J].中国教育技术备，2013（2）.
[2]李克东.应用可视化思维工具，促进学生思维能力发展[J].中国信息技术教育，2013（07-08）.
[3]李文静.浅谈如何提高小学数学复习课的有效性[J].福建基础教育研究，2010（12）.
[4] 张和美.小学数学中思维导图对解决问题的作用[J].新课程（小学），2014（11）.
[5] 谢玉妃，孙蓉菲.利用可视化思维工具，促进教学方式的改变[J]中国信息技术教育，2013（07-08）.
[6]李克东.可视化行动研究学习[J].中国信息技术教育，2015（01-02）.
【关键词】可视化思维工具;思维导图;数学复习课效能
复习课是小学数学教学中的一个重要环节，它是小学生进一步理解、掌握、巩固和运用所学知识的系统化过程，在小学数学教学活动中处于承前启后的作用。但复习课又是一直困扰教师的课型，存在“费时费力，上成练习课，欠缺知识的纵横联系，收效较低”等问题。如何上好复习课，借助可视化思维工具能很好地解决以上问题，拓展学生的思维，提高数学复习课的效能。
一、数学复习课为什么要利用可视化思维工具
有效的复习课应该有“回忆、整理、反思、升华”这四个要素，但在实际的教学活动中不一定得到真正的落实，复习课上成了练习课或讲评课的比比皆是。小学生生性活泼好动，对沉闷枯燥的讲解和练习往往不感兴趣，仅仅是在老师的主导下听和练，课堂学习效率较低。那么，如何上好小學数学复习课，提高小学数学复习课的效能？我认为利用可视化思维工具，提升小学数学复习课的效能主要考虑以下两个问题：1.对于老师，如何利用可视化思维工具进行教学，提升复习课的效能。2.对于学生，如何利用可视化思维工具自主建构知识网络，不断更新自身思考内容，提升高阶思维能力。
可视化思维工具，是指图形化的思考工具和利用计算机构建思维导图的创作工具。常用的图形化的思考工具主要有：思维导图（如韦恩图、Y/X/W线图、鱼骨图、金字塔图）、PMIQ反思表格等，不同的思维工具发挥着不同的作用，具体选用哪种思维工具要根据学习的目的和内容及学生的发展水平而定。在小学数学复习课中，师生共同利用可视化思维工具进行思考、学习、表达和评价，使这些工具发挥不同的作用：①在课前准备阶段，师生通过思维导图把已学的知识回忆、整理，实现知识点联系的可视化。②在教学活动中，对师生思考的问题和想法进行分析和归纳解决问题，建立新联系，创造新知识。③在课后总结阶段，通过PMIQ反思表的展示，实现知识的分享，便于师生之间的评价和反馈。
二、可视化思维工具——思维导图的作用
思维是一个抽象的过程，如何引导学生更深入地进行思考，特别是在一个单元知识学习完后，让学生通过自己的整理、归纳沟通知识的纵、横向联系，形成自己的知识系统转变为自我的能力，可视化思维工具的应用能在课堂教学中提升学生的高阶思维。
应用思维导图进行小学数学复习教学，可以改变以传授知识为主导的课堂教学模式，改为以能力培养为主导，特别是以创新能力为主导的教学模式，保持和激发孩子们学习的兴趣，发散他们的思维力，让他们自主学习。兴趣、自主、思维、创造是学习的宝法。先要有兴趣，然后让孩子们自主，才能发展思维，才能有创造。
思维导图作为一种教的策略，能辅助教师改进教学。教师运用思维导图可以更清晰地呈现教学内容和理顺教学思路，还能设计更有创意的教学活动，培养学生的创新思维能力，促进高效课堂。作为一种学习的策略，思维导图的创作过程包含了与创造力培养的相关技巧，学生在有趣的思维导图创作过程中找到学习的乐趣，学生学会梳理知识、分析问题、解决问题，拓展学生思维的广度，让学生自学、爱学、乐学，培养了学生发散性思维与创新思维能力，提高学习的兴趣。应用思维导图进行教与学，可以提高学生创新思维和自主学习的意识，便于学生的识记及复习，将自己知觉、思考或感觉到的信息进行编码内化为自我的能力。这样有利于培养学生的创新思维能力，从而提高数学复习课的效能。
三、可视化思维工具在小学数学复习课中的实践
小学数学复习课知识点较多、综合性较强、灵活性较大。针对数学复习课的特点，我参考可视化思维工具的相关理论和实验研究，利用不同的思维导图、PMIQ反思表等可视化思维工具进行教学实践。下面就人教版数学四年级下册《三角形知识》的主题教学复习课，从教师的教和学生的学两个维度来分析如何运用可视化思维工具，拓展学生的思维能力，培养数学高阶思维，提升数学复习课的效能。
（一）课前准备——绘制思维导图，梳理知识
复习课前教师利用思维导图进行备课。例如，对“三角形知识”这个单元的知识进行复习时，我根据学生的基础和小学生的认知特点精心设计探究活动，首先用思维导图的方式对三角形的知识脉络进行梳理，整体把握本单元的知识结构，深挖教材内涵，这样在上课时才能做到胸有成竹。同时在复习课前要求学生自行绘制思维导图。用思维导图把“三角形知识”的知识进行梳理并内化到已有的认知当中。由于思维导图具有图文并茂的特点，在绘制的过程中，学生不仅能够对“三角形的特性、边、角、高、内角和”整个单元的知识点进行梳理和串联，还可以从中获得绘画的乐趣，整理的过程还提出问题，留待上课时进行研讨。
（二）课中研讨——小组交流，理清思维
1.梳理——利用思维导图梳理，构建知识体系
复习课的重点是梳理知识间的逻辑关系。首先用微课展示本节课的知识点，再采用了课前思维导图小组交流探索，选一个作品展示，让学生讲述自己思维导图的制作思路，描述三角形的知识点，老师及时引导学生对这个思维导图进行完善，在这个过程中，教师要引导学生回忆和理解本单元的相关概念，纠正易错的知识点，理清各知识点层级的关系，构建完整的知识网络图。实际上就是学生理清思维、构建新的知识体系的过程。
2.练习——利用思维导图解决问题，培养数学思维
复习课中的练习与练习课中的练习是不同的，练习课的练习是新授课中用来巩固数学基础知识和形成技能技巧;而复习课中的练习重点突出对知识的综合运用，重在通过综合问题的解决来培养学生的解决问题的能力和高阶思维。课中我采用自主探究，小组讨论、合作交流、实践操作相结合的学习方式，并适当地应用课件辅助教学，让学生通过动脑、动口、动手来亲身经历用数学的过程，再设计恰当的练习进行巩固提升。对于小学生来讲，数学题目有时是比较抽象的。思维导图可以将抽象的问题以形象化的图示表示出来使抽象的数学问题变得直观形象。例如，在这个单元中有一道题比较难的解决问题的题目：小明把一个用铁丝做成的边长是20厘米的正方形拉直，再围成一个腰是16厘米的等腰三角形，这个三角形的底边长多少厘米？对于这道题，大多数四年级的学生刚开始不能把握题目的条件与问题之间的关系，因此，我引导学生根据题意画出图形，然后再明确问题是求哪一边的长度。通过这样的分析、画图、辨析学生能找准解决问题的方法。 利用思维导图解决问题可以使解决问题的角度更加多样化，使学生在解题中形成发散性思维和开放性思维，培养高阶思维。例如，鸡兔同笼是人教版数学广角中的内容，属于奥数经典题型，对学生有一定难度，特别是教材中重点突出的假设法解答，学生理解起来非常困难。在教学中，除了教学列表法、假设法、抬脚法等方法外，我引导学生用画图法，课后发现这种方法更适合于数学学困生。如下图：
2.笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有5个头，从下面数有16只脚，鸡和兔各有几只？
3.反思——利用PMIQ反思表，自我反思
荷兰数学教育家弗莱登塔尔说“反思是数学思维活动的核心和动力。”在复习课上，教师要有意识地培养学生的自我反思能力。教师在课堂总结时引导学生填写PMIQ反思表格进行学习内容和过程的评价，在学生完成PMIQ反思表后，由小组代表汇报本组的反思表，交流在学习过程中已經学会的（P），尚未学会的（M），还希望学习的知识（I），以及还不清楚的疑问（Q）。这样，从学生对PMIQ思维导图的讲述、分析中，感知学生对三角形的概念，三角形的稳定性、三角形的分类、三角形的内角和及其在生活中的应用，画三角形的高都能熟练掌握。特别是复习画特殊三角形的高（如直角三角形、钝角三角形）时在生生互动升华的过程中学生找不到如何画钝角三角形一个锐角到对边的高时，让学生充分发表多种见解，让思维升华，碰撞火花，培养了高阶思维能力。
如何让学生的思维活跃起来，真正投入到复习课中的头脑风暴中，问题是最好的助推器。在这一环节，师生主要解决的是小组代表中提出来的比较有价值的问题。如：1.是不是每个不规则的图形转化成规则图形后，面积都不变？2.还有什么方法可以算鸡兔同笼类型的题目等问题？3.在植树问题中如利用间距求种树棵树等等。从自我评价反思这一环节扩大了学生知识共享与知识建构的深度和广度，起到了复习课上“温故知新”的作用。
（三）课后学习——合理利用，提高复习效率
由于课堂时间有限，课后将全班同学的PMIQ反思表收集起来，作为教学反思资料，及时了解学生的学习程度和学习效果，把学生提出来尚未解决的问题再解决，这样还可以有效的整合教学资源。再指导学生课后把修改完善的思维导图和PMIQ反思表，作为总复习的学习资料。例如，学生可以在期末复习时快速地浏览思维导图和PMIQ反思表，温故知新，提高数学复习的效能。
四、应用可视化思维工具提升小学数学复习课的效能
《国家教育信息化十年发展规划》中提出推进教育信息化应该坚持“深度融合，引领创新”的思路。可视化学习是一种独特的创新性学习活动，它充分利用知识可视化学习资源，通过思维可视化工具进行分析思考，利用数据可视化方法进行评价，促进学生的个性化学习能力发展，改变学习的方式。应用可视化思维工具教学还可以探究出“可视化学习教学模型”，培养学生利用资源、思考探究、互动交流、知识重构等个性化学习能力。
可视化思维工具在小学数学复习课中有较强的应用性，在一定程度上促进了教学方式的改变。一方面，教师利用可视化思维工具可以更深入的解读小学数学教材，提高专业素养。通过思维导图的应用加深对学生的了解，教师在课堂上更有的放矢，明确学生存在的主要问题，灵活使用教与学的方式，便于拓展学生的数学思维。[]另一方面，由于可视化思维工具符合小学生的思维和认知习惯，能有效的调动学生自主参与复习课学习的积极性，教师为学生提供简单有趣的复习方法，从自学、观察、探究、互动中培养学生的散发思维，从而提升了小学数学复习课的效率。
实践在推进，我们还在不断探究应用思维导图和PMIQ反思表的评价方式，探究教师在复习课中的教学策略，探究其他可视化思维工具在数学复习课中的利用等等，这些问题的进一步研究有助于推进可视化思维工具更好的应用于小学数学复习课的教学，提升复习课的效能。
国民素质决定国家竞争力，国民的核心素养决定一个国家的核心竞争力与国际地位。“21世纪素养”框架确立了三项技能领域：（1）学习与创新技能。包括批判性思维和问题解决能力、创造性和创新能力、交流与合作能力。（2）信息、媒体与技术技能。包括信息素养、媒体素养、信息交流和科技素养。（3）生活与职业技能。包括灵活性和适应性、主动性和自我指导、社会和跨文化技能、工作效率和胜任工作的能力、领导能力和责任能力。通过可视化学习，应用可视化思维工具进行教学，培养学生具备21世纪人才要求的素养。
参考文献：
[1]徐爱芝，兰石桂.关于小学数学复习课教学有效性的思考[J].中国教育技术备，2013（2）.
[2]李克东.应用可视化思维工具，促进学生思维能力发展[J].中国信息技术教育，2013（07-08）.
[3]李文静.浅谈如何提高小学数学复习课的有效性[J].福建基础教育研究，2010（12）.
[4] 张和美.小学数学中思维导图对解决问题的作用[J].新课程（小学），2014（11）.
[5] 谢玉妃，孙蓉菲.利用可视化思维工具，促进教学方式的改变[J]中国信息技术教育，2013（07-08）.
[6]李克东.可视化行动研究学习[J].中国信息技术教育，2015（01-02）.