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不久前，笔者有幸参加了《教学月刊》主办的“空间与图形”教学研讨活动，并执教了《平行四边形的面积》一课，经历磨课，感受颇多。
《平行四边形的面积》是一堂既普通又不寻常的课。说它普通，是因为这一内容是一个传统的数学主题，并且，关于这个内容的教学，笔者在校内校外也听过多次，并不陌生。说它不寻常，是因为这一内容在空间与图形教学中的地位不寻常，它是在学生掌握了平行四边形的特征以及长方形、正方形面积计算的基础上进行的，同时又是进一步学习三角形面积、梯形面积、圆面积和立体图形表面积计算的基础，在教材中占有承前启后的重要地位。而教学中蕴含的“转化”的思想，也是学生在空间与图形学习领域里首次接触的一种数学思想，为将来学习其他图形的变换积累一定的感性认识。由此可见，理解和掌握平行四边形的面积计算是至关重要的。基于对该教学内容重要性的深刻认识，笔者对空间与图形教学的目标和要求以及教材的编写意图进行了一番研读和思考，同时也参考和研究了相关教学案例，通过整理和分析，发现这一学习主题的教学大致经历了“猜想一验证一推导一应用”这样一个流程，教师在教学中较多地关注了平行四边形面积计算方法的推导过程，而忽视了学生知识形成的体验过程和空间想象能力的培养。
解读新课标我们发现，关于空间．与图形的教学，《数学课程标准》明确指出：“在教学中，应注重使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换：应注重通过观察物体、认识方向、制作模型、设计图案等活动，发展学生的空间观念。”课标强调了空间与图形教学应加强感性的、直观的观察和操作来进行，通过分析和推导，进而得到抽象的空间表象，发展空间观念。小学生的思维正处于具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，教学中加强直观演示，在学生头脑中形成清晰正确的表象，有利于培养学生的抽象概括能力，有利于发展学生的思维能力和空间观念。笔者认为这也正是课程标准将原来的“几何”这一模块拓展为“空间与图形”的原因，这几个字的差别深刻地反映了新课标改革了过去只重简单的几何事实的传授和偏重于计算的格局，强调要着眼于学生空间观念的培养和生成。
在新理念的指导下，笔者对《平行四边形的面积》的教学过程进行了一番调整，有了一次新的尝试和探究。
[课堂实录]
一、回忆沟通．揭示主题
师：同学们喜欢看魔术表演吗?老师和大家一样也很喜欢魔术。今天，老师还给大家带来了一个图形的变换，想看吗?
师：那就把我们的主角请出来吧。(课件出示平行四边形)
师：平行四边形是我们的老朋友了，它的很多知识我们已经学过，比如(教师手指课件)，这四条边叫做平行四边形的底(师生齐说)，为了有所区别，老师将这条底记做a，你知道底a的高在哪里?(指名学生比画)是这一条吗?(课件出示底a的高)底a只有这一条高吗?(学生回答，教师课件演示)是啊，只要是一组对应的底边之间的距离都是底a的高a那底b的高又在哪儿呢?(指名比画，课件出示)同样的，底b的高也有无数条(师生齐说)。
二、观察体验，探究原因
师：现在，老师就请你来变魔术，要将平行四边形的面积变大，你有什么好办法?
(学生思考交流)
生：将底a变长。(课件演示)
生：将高变长。(课件演示)
生：将四条底边都变长。(课件演示)
师：同学们的方法可真多，谁能概括地说一说他们用了哪些方法使平行四边形的面积变大了?
生：他们都是将底变长或者将高变长，使平行四边形的面积变大了。
师：是啊，从刚才的变化中，我们清楚地看到，只要平行四边形的底或者高变长，它的面积就会随着变大。
(教师板书：底变长，高变长，面积变大)
师：大家的方法真不错，老师也想试一试，可以吗?
师：老师将其中一条底b变长，请大家仔细观察平行四边形的面积变大了吗?(课件演示：拉动底。对应边平移，使底b斜向变长，底a和它对应高不变)
(学生观察争论，教师指名二人发表观点)
师：谁的观点是正确的呢?平行四边形的面积到底有没有变?我们一起用小方格数一数，好吗?
(课件出示小方格，教师说明每个小方格的面积是1平方厘米)
师：原来的平行四边形的面积谁会数?
(指名一生演示数法)
师：他数的方法你看明白了吗?谁来说一说他是怎样数的?
生：他是将平行四边形左边不满1格的三块移到右边，和右边同样的三块拼在一起，这样原来的平行四边形就变成了一个长方形，数起来很方便。
师：谁能很快地数出变化之后的平行四边形的面积呢?
(指名一生演示)
师：从两次数的结果我们发现平行四边形的面积有没有变?
师：一条底边变长了，面积为什么没变呢?
(四人小组讨论交流，探究原因)
生：我们小组发现底b虽然变长了，但是底a和它的高没有变，所以面积不变。
师：这位同学的解释你听明白了吗?谁再来说一说?
师：是呀，只要底a和它对应的高不变，尽管底b变长了，面积却不会变大。
(教师板书：底和对应的高不变，面积不变)
师：那么，你们觉得平行四边形的面积和什么有关?
生：平行四边形的面积和一组对应的底和高有关。
(教师板书：平行四边形的面积与底和对应的高有关)
师：我们回过头来看看前面的几次操作中，平行四边形的面积为什么变大了?
(学生讨论分析，再一次体会平行四边形的面积和对应的底、高之间的关系)
师：平行四边形的面积与底和对应的高到底有怎样的关系呢?谁已经知道?
生：我知道平行四边形的面积等于底乘高。
三、验证推导，总结方法
师：平行四边形的面积为什么是底乘高呢?请大家拿出平行四边形纸片，利用身边的学习工具，联系以前学过的知识，开动脑筋。
(学生操作证明并介绍推导的方法)
师：他的方法你听明白了吗，谁能概括地说一说?
(课件演示，分析平行四边形和长方形的联系)
师：还有不同的方法吗?
(教师根据学生的回答，结合板书，得出结论：平行四边形的面积：底×高)
师：谁能简单地说一说我们是用什么方法证明平行四边形的面积等于底乘高的?
师：将新的知识转化成旧知识来推导，是数学学习中经常用到的学习方法，以后我们还会经常用到。
师：现在，如果要求一个平行四边形的面积，只要知道什么就可以了?你 会算吗?我们试一试。
四、巩固应用．拓展提高(略)
[教学体会]
回顾整节课的教学流程“体验—猜想—验证—推导—应用”不难发现，与传统的“猜想—验证—推导—应用”流程相比，只是增加了“体验”这一环节，而这种安排是否妥当，笔者在最初设计的时候也曾有过两点疑虑。首先，花将近四分之一的时间去观察图形的变化，体验平行四边形的面积与底和对应高的变化关系，是否会影响后面验证和推导的教学，学生还有时间去应用巩固吗?其次，这样的教学安排，是否偏离了教学目标，学生能否真正理解和掌握平行四边形的面积呢?然而，40分钟过后，事实证明我的顾虑是多余的。
“体验”这一教学环节的安排不仅没有使教学拖堂，反而给学生的思维带来了更大的冲击，也使后来的验证和推导变得“水到渠成”。究其原因，主要有以下几点。
一、加强了感性体验．拓展了学生的思维空间
在传统的教学中，教师更多地关注子平行四边形面积的验证和推导过程，引导学生通过剪、拼等操作将平行四边形转化成已经学过的长方形，让学生观察拼成的长方形和原来的平行四边形之间的联系，分析推导出平行四边形面积计算方法。虽然整个验证过程中，有具体实物(平行四边形纸片)的支撑，有学生的实际操作，也有观察、分析等思维过程，可以说体验非常充分，但细分析发现这些体验的目的只是为了推导出平行四边形的面积计算方法，而学生对于“平行四边形的面积为什么与底和对应高有关”这一问题的理解还是不够到位的。因此，我安排了让学生观察图形变化这一环节。第一次让学生将平行四边形的面积变大，主要目的是让学生直接感知到平行四边形的面积是和底、高有关的，底和高变长了，平行四边形的面积就会变大。第二次变化的设计(底变长，面积不变)，主要是让学生在认知冲突中，探究和体会平行四边形的面积与一组对应的底、高有关。在这个教学片段中，教师给学生创设了一个动态的、直观的变化情景，学生通过观察，自觉感悟到平行四边形的面积和对应的底、高之间的密切联系，并且在感知的基础上引发猜想，激发起强烈的探究欲望——究竟平行四边形的面积和对应的底、高有怎样的关系呢?最后在操作中验证了自己的猜想。这样的安排，从形象到抽象，让学生进行了充分的感性体验，在此基础上探究平行四边形的面积公式，学生不仅知其然，也知其所以然。
二、关注了细节．促进了学生的策略生成
著名数学家波利亚说过：“学习任何知识的最佳途径是由学生自己去发现。因为这种发现，理解最深，也最容易掌握其中的内在规律和联系。”教学中，学生是学习的主体，学生的学习应该是主动积极的，教师要顺着学生的思维发展组织教学，而不能牵着学生的鼻子走‘在以往的教学中，教师引导学生推导平行四边形面积公式时，往往会提这样一个问题——能不能将平行四边形转化成我们已经学过的平面图形呢?学生在教师的提示下，被动地进行转化和推导，这样的教学设计显然限制了学生的思维发展和策略的自然生成。如何安排才能让学生想到将平行四边形转化成长方形，又不受到教师的刻意提示呢?我想到了借助“数面积”这个环节来突破。当学生在图形的第二次变化中无法直接判断面积大小时，教师顺势引出了用小方格来数面积，在出示小方格时，我没有像教材中那样直接告诉学生“不满1格的按半格数”，而是让学生自己想办法数出平行四边形的面积。学生经过观察发现，一些不满1格的图形可以拼在一起数，还有学生发现将所有不满1格的拼在一起就组成了一个长方形，这一发现让学生在后来的验证过程中很自然地拿起剪刀将平行四边形沿高剪拼成了长方形。一个简单的“数面积”活动，一个细节的安排，不仅解决了“两个平行四边形面积是否相等的问题”，也为后来的教学作了铺垫，一举两得，使随后的验证、推导过程变得简明且高效，促进了学生“转化”策略的自然生成。
(浙江省湖州市吴兴区爱上小学 313000)
《平行四边形的面积》是一堂既普通又不寻常的课。说它普通，是因为这一内容是一个传统的数学主题，并且，关于这个内容的教学，笔者在校内校外也听过多次，并不陌生。说它不寻常，是因为这一内容在空间与图形教学中的地位不寻常，它是在学生掌握了平行四边形的特征以及长方形、正方形面积计算的基础上进行的，同时又是进一步学习三角形面积、梯形面积、圆面积和立体图形表面积计算的基础，在教材中占有承前启后的重要地位。而教学中蕴含的“转化”的思想，也是学生在空间与图形学习领域里首次接触的一种数学思想，为将来学习其他图形的变换积累一定的感性认识。由此可见，理解和掌握平行四边形的面积计算是至关重要的。基于对该教学内容重要性的深刻认识，笔者对空间与图形教学的目标和要求以及教材的编写意图进行了一番研读和思考，同时也参考和研究了相关教学案例，通过整理和分析，发现这一学习主题的教学大致经历了“猜想一验证一推导一应用”这样一个流程，教师在教学中较多地关注了平行四边形面积计算方法的推导过程，而忽视了学生知识形成的体验过程和空间想象能力的培养。
解读新课标我们发现，关于空间．与图形的教学，《数学课程标准》明确指出：“在教学中，应注重使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换：应注重通过观察物体、认识方向、制作模型、设计图案等活动，发展学生的空间观念。”课标强调了空间与图形教学应加强感性的、直观的观察和操作来进行，通过分析和推导，进而得到抽象的空间表象，发展空间观念。小学生的思维正处于具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，教学中加强直观演示，在学生头脑中形成清晰正确的表象，有利于培养学生的抽象概括能力，有利于发展学生的思维能力和空间观念。笔者认为这也正是课程标准将原来的“几何”这一模块拓展为“空间与图形”的原因，这几个字的差别深刻地反映了新课标改革了过去只重简单的几何事实的传授和偏重于计算的格局，强调要着眼于学生空间观念的培养和生成。
在新理念的指导下，笔者对《平行四边形的面积》的教学过程进行了一番调整，有了一次新的尝试和探究。
[课堂实录]
一、回忆沟通．揭示主题
师：同学们喜欢看魔术表演吗?老师和大家一样也很喜欢魔术。今天，老师还给大家带来了一个图形的变换，想看吗?
师：那就把我们的主角请出来吧。(课件出示平行四边形)
师：平行四边形是我们的老朋友了，它的很多知识我们已经学过，比如(教师手指课件)，这四条边叫做平行四边形的底(师生齐说)，为了有所区别，老师将这条底记做a，你知道底a的高在哪里?(指名学生比画)是这一条吗?(课件出示底a的高)底a只有这一条高吗?(学生回答，教师课件演示)是啊，只要是一组对应的底边之间的距离都是底a的高a那底b的高又在哪儿呢?(指名比画，课件出示)同样的，底b的高也有无数条(师生齐说)。
二、观察体验，探究原因
师：现在，老师就请你来变魔术，要将平行四边形的面积变大，你有什么好办法?
(学生思考交流)
生：将底a变长。(课件演示)
生：将高变长。(课件演示)
生：将四条底边都变长。(课件演示)
师：同学们的方法可真多，谁能概括地说一说他们用了哪些方法使平行四边形的面积变大了?
生：他们都是将底变长或者将高变长，使平行四边形的面积变大了。
师：是啊，从刚才的变化中，我们清楚地看到，只要平行四边形的底或者高变长，它的面积就会随着变大。
(教师板书：底变长，高变长，面积变大)
师：大家的方法真不错，老师也想试一试，可以吗?
师：老师将其中一条底b变长，请大家仔细观察平行四边形的面积变大了吗?(课件演示：拉动底。对应边平移，使底b斜向变长，底a和它对应高不变)
(学生观察争论，教师指名二人发表观点)
师：谁的观点是正确的呢?平行四边形的面积到底有没有变?我们一起用小方格数一数，好吗?
(课件出示小方格，教师说明每个小方格的面积是1平方厘米)
师：原来的平行四边形的面积谁会数?
(指名一生演示数法)
师：他数的方法你看明白了吗?谁来说一说他是怎样数的?
生：他是将平行四边形左边不满1格的三块移到右边，和右边同样的三块拼在一起，这样原来的平行四边形就变成了一个长方形，数起来很方便。
师：谁能很快地数出变化之后的平行四边形的面积呢?
(指名一生演示)
师：从两次数的结果我们发现平行四边形的面积有没有变?
师：一条底边变长了，面积为什么没变呢?
(四人小组讨论交流，探究原因)
生：我们小组发现底b虽然变长了，但是底a和它的高没有变，所以面积不变。
师：这位同学的解释你听明白了吗?谁再来说一说?
师：是呀，只要底a和它对应的高不变，尽管底b变长了，面积却不会变大。
(教师板书：底和对应的高不变，面积不变)
师：那么，你们觉得平行四边形的面积和什么有关?
生：平行四边形的面积和一组对应的底和高有关。
(教师板书：平行四边形的面积与底和对应的高有关)
师：我们回过头来看看前面的几次操作中，平行四边形的面积为什么变大了?
(学生讨论分析，再一次体会平行四边形的面积和对应的底、高之间的关系)
师：平行四边形的面积与底和对应的高到底有怎样的关系呢?谁已经知道?
生：我知道平行四边形的面积等于底乘高。
三、验证推导，总结方法
师：平行四边形的面积为什么是底乘高呢?请大家拿出平行四边形纸片，利用身边的学习工具，联系以前学过的知识，开动脑筋。
(学生操作证明并介绍推导的方法)
师：他的方法你听明白了吗，谁能概括地说一说?
(课件演示，分析平行四边形和长方形的联系)
师：还有不同的方法吗?
(教师根据学生的回答，结合板书，得出结论：平行四边形的面积：底×高)
师：谁能简单地说一说我们是用什么方法证明平行四边形的面积等于底乘高的?
师：将新的知识转化成旧知识来推导，是数学学习中经常用到的学习方法，以后我们还会经常用到。
师：现在，如果要求一个平行四边形的面积，只要知道什么就可以了?你 会算吗?我们试一试。
四、巩固应用．拓展提高(略)
[教学体会]
回顾整节课的教学流程“体验—猜想—验证—推导—应用”不难发现，与传统的“猜想—验证—推导—应用”流程相比，只是增加了“体验”这一环节，而这种安排是否妥当，笔者在最初设计的时候也曾有过两点疑虑。首先，花将近四分之一的时间去观察图形的变化，体验平行四边形的面积与底和对应高的变化关系，是否会影响后面验证和推导的教学，学生还有时间去应用巩固吗?其次，这样的教学安排，是否偏离了教学目标，学生能否真正理解和掌握平行四边形的面积呢?然而，40分钟过后，事实证明我的顾虑是多余的。
“体验”这一教学环节的安排不仅没有使教学拖堂，反而给学生的思维带来了更大的冲击，也使后来的验证和推导变得“水到渠成”。究其原因，主要有以下几点。
一、加强了感性体验．拓展了学生的思维空间
在传统的教学中，教师更多地关注子平行四边形面积的验证和推导过程，引导学生通过剪、拼等操作将平行四边形转化成已经学过的长方形，让学生观察拼成的长方形和原来的平行四边形之间的联系，分析推导出平行四边形面积计算方法。虽然整个验证过程中，有具体实物(平行四边形纸片)的支撑，有学生的实际操作，也有观察、分析等思维过程，可以说体验非常充分，但细分析发现这些体验的目的只是为了推导出平行四边形的面积计算方法，而学生对于“平行四边形的面积为什么与底和对应高有关”这一问题的理解还是不够到位的。因此，我安排了让学生观察图形变化这一环节。第一次让学生将平行四边形的面积变大，主要目的是让学生直接感知到平行四边形的面积是和底、高有关的，底和高变长了，平行四边形的面积就会变大。第二次变化的设计(底变长，面积不变)，主要是让学生在认知冲突中，探究和体会平行四边形的面积与一组对应的底、高有关。在这个教学片段中，教师给学生创设了一个动态的、直观的变化情景，学生通过观察，自觉感悟到平行四边形的面积和对应的底、高之间的密切联系，并且在感知的基础上引发猜想，激发起强烈的探究欲望——究竟平行四边形的面积和对应的底、高有怎样的关系呢?最后在操作中验证了自己的猜想。这样的安排，从形象到抽象，让学生进行了充分的感性体验，在此基础上探究平行四边形的面积公式，学生不仅知其然，也知其所以然。
二、关注了细节．促进了学生的策略生成
著名数学家波利亚说过：“学习任何知识的最佳途径是由学生自己去发现。因为这种发现，理解最深，也最容易掌握其中的内在规律和联系。”教学中，学生是学习的主体，学生的学习应该是主动积极的，教师要顺着学生的思维发展组织教学，而不能牵着学生的鼻子走‘在以往的教学中，教师引导学生推导平行四边形面积公式时，往往会提这样一个问题——能不能将平行四边形转化成我们已经学过的平面图形呢?学生在教师的提示下，被动地进行转化和推导，这样的教学设计显然限制了学生的思维发展和策略的自然生成。如何安排才能让学生想到将平行四边形转化成长方形，又不受到教师的刻意提示呢?我想到了借助“数面积”这个环节来突破。当学生在图形的第二次变化中无法直接判断面积大小时，教师顺势引出了用小方格来数面积，在出示小方格时，我没有像教材中那样直接告诉学生“不满1格的按半格数”，而是让学生自己想办法数出平行四边形的面积。学生经过观察发现，一些不满1格的图形可以拼在一起数，还有学生发现将所有不满1格的拼在一起就组成了一个长方形，这一发现让学生在后来的验证过程中很自然地拿起剪刀将平行四边形沿高剪拼成了长方形。一个简单的“数面积”活动，一个细节的安排，不仅解决了“两个平行四边形面积是否相等的问题”，也为后来的教学作了铺垫，一举两得，使随后的验证、推导过程变得简明且高效，促进了学生“转化”策略的自然生成。
(浙江省湖州市吴兴区爱上小学 313000)