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一、问题提出
数学概念的教学内容抽象，不像长度、重量等可以通过具体的实物表现，且经过图形变换之后判断全等又增加了学习难度。不少教师在组织教学时讲得细一点，很容易忽视学生的整体感受、过程体验和自主建构的时间，以至于教师卖力分析，但学生无法在脑海中建立起知识间的联系。因此，数学概念的教学要能够从学生已有认知结构上进行，突出整体关联结构，从而培养结构化思维。如果一个数学概念能够以一种自然而又令人恍然大悟的方式与众多的其他数学概念相联系，那么它就是具有重要意义的。
二、教学案例——八年级上册12.1《全等三角形》
这节课的重点内容是让学生理解全等三角形的有关概念及其性质，以及全等的表示方法，对应部分的关系，教师在教学中仅仅是让学生观察两张形状相同，大小相同的图形得出全等，对于学生来说，不需要作出思維上的努力就可以通过观察辨别出来，这样思考过程是学生已有的认知基础，学生很容易得到，但只是对于全等有了简单感性的认识，数学是整体的，结构的，逻辑的，要抓住核心的和关键，扣住本质和联系，凸显整体和关联，让学生发现隐藏在具体数学知识背后的思维方法。就能化繁为简化难为易，条理清晰，事半功倍。为了学生能对概念可以抓住本质，学会结构化学习数学的思维，下面进行片段展示。
【片段一】感知特征，认识概念
出示我们经常看到的形状，大小完全相同的图形：
师：你能找出生活实际中形状，大小完全相同的图形吗？
（学生观察可得出）
师追问：你是如何辨别两个图形的形状，大小是完全相同？
生：（交流谈论找到方法）将两个图形重叠，看看他们是否能够完全重合，能完全重合，他们的形状，大小就相同。这时学生从“两个图形的形状，大小完全相同”到“两个图形完全重合”就在大脑的思维中建构起来了，教师再适时点题，提出“全等形”的概念，接着教师把图形换成三角形，拿出两个形状，大小完全相同的三角形，就比较自然的过渡到全等三角形的概念，这样在学生的思维空间中得到了自然生长。这是一种结构化学习，结构化学习是将数学的逻辑结构和学生的认知结构的进行有效对接，是建立在数学知识系统和学生已有的认知基础之上的，在知识的形成与演化的过程中把握数学本身的逻辑结构，促进认知结构的生长和完善以此洞悉学生身心发展的基本规律。在教学案例中教师从让学生观察图形到如何辨别图形唤醒了学生对全等的整体认知，在“感性经验”的支撑下建立全等的直观表象，从更高层次辨别的方法上把握了学习内容，让学生重新建构新的数学知识。
【片段二】关系探究，理解概念
师：我把这两个三角形重合在一起之后，你发现了我们可以把这两个三角形称之什么？
生：全等三角形。
让学生总结全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“≌”表示，读作全等三角形。学生在学习全等三角形的概念上从具体特殊的研究中发现共性，普遍性的数学结构与知识。在探索过程中提炼出概括数学概念素养。
师：适时展示三角形经过平移，翻折180°，旋转之后是否还是全等三角形考察学生，如：
师：上面图形位置变化了，仍然全等吗？
生：会，虽然位置改变，但是形状，大小没有改变这个事实，即平移，翻折，旋转前后图形仍然全等。
师：那么位置改变后，我们只需要将它们重合在一起比较形状，大小，那么是不是随意叠在一起呢？
生：肯定不是，在讨论交流中学生就会在大脑上思考出如何重合在一起的方法，答依据角度大小等判断方法。从位置变化到是否全等？如何判断等问题层层深入，引导学生揭示隐藏在具体数学知识背后的思维方法。
教师：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角，因此图①△ABC≌△DEF。
师：说说图②，图③的对应顶点，对应边和对应角.
教师总结：图②中对应边AB和DB按照对应的点的顺序写，为了今后方便不能写成AB对应边BD，对应的字母按照重合的顺序写。
在图形的三种变换下理清全等三角形判断方法，这两部分知识整合在一起学习，将学生认知进行整合来研究关系，找到联系，实现建构，用思维带动知识学习，着力于同类之间逻辑关联的整体结构，初步从知识系统化走向思维结构化。
【片段三】实践运用，拓展思维
（出示变式练习）
（1） 图①△ABE≌△ACD，用字母表示出这两个三角形的对应顶点，对应边和对应角，让学生找出并说明找的方法！
（2） 图②与图③直接让学生表示全等三角形，并且表示对应点，对应边和对应角.
翻转，平移，旋转之后的变式图形的练习是对学生思维的巩固，先从一些具体的研究中发现全等的共性、数学结构与其他知识的关系，通过知识变式提炼出数学思想和方法。因为只有抓住全等三角形与图形变换之间的联系，才能更好地把握数学学习结构、理解结构、生成知识。
【片段四】回顾反思，总结方法
师：回顾刚才的练习，你有什么哪些方法判断全等？
（让学生讨论汇报全等三角形对应元素的方法）
生：可以通过题目给出的两三角形△ABE≌△ACD中找出对应元素，观察图形中角度大小相等以此让学生掌握全等的认识。“回头看”这种思维活动，学生能从图形平移，旋转，翻转之后依然能判断全等，联想到知识之间的结构关联是今后学习的持续生长力，结构化学习有效地促进学生自觉的进行比较，总结和反思。不断引领学生对学习过程进行回顾反思，使零散的知识、经验汇聚起来，使得学生能够条理化清晰化去认识事物的本质。
在今后学习中，将概念的教学置于由易到难、螺旋上升的整体性知识系统中，采用递进式、整体性的教学推进，让学生经历数学概念的萌芽、产生、辨析、比较、建模的过程，理解概念的本质意义，体会数学思想方法优越性，形成结构化思维。比如，在教学《矩形》的概念时让学生观察一般的平行四边形到矩形的变化过程，从而得出矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。抓住了平行四边形与矩形的联系，这一看似抽象的过程、始终联系具体实例展开，始终致力于让学生用自己的语言来描述学习体会和领悟。认知心理学家布鲁纳指出，学习过程是认知结构的组织和重新组织过程。然而，认知结构的组织和重新组织是由科学知识结构体系的内化和活化来实现的。所以，认知心理学家既强调原有认知结构的作用，也强调学习材料本身的内在逻辑结构，认为具有内在逻辑结构的材料与学生原有的认知结构联系起来，新旧知识发生相互作用，新知识在学生头脑中才能获得新的意义。只有通过这样的结构化学习，我们才能弄清相关概念的直观背景，包括如何能将新的概念与先前已掌握的其他概念很好地联系起来。
责任编辑 徐国坚
数学概念的教学内容抽象，不像长度、重量等可以通过具体的实物表现，且经过图形变换之后判断全等又增加了学习难度。不少教师在组织教学时讲得细一点，很容易忽视学生的整体感受、过程体验和自主建构的时间，以至于教师卖力分析，但学生无法在脑海中建立起知识间的联系。因此，数学概念的教学要能够从学生已有认知结构上进行，突出整体关联结构，从而培养结构化思维。如果一个数学概念能够以一种自然而又令人恍然大悟的方式与众多的其他数学概念相联系，那么它就是具有重要意义的。
二、教学案例——八年级上册12.1《全等三角形》
这节课的重点内容是让学生理解全等三角形的有关概念及其性质，以及全等的表示方法，对应部分的关系，教师在教学中仅仅是让学生观察两张形状相同，大小相同的图形得出全等，对于学生来说，不需要作出思維上的努力就可以通过观察辨别出来，这样思考过程是学生已有的认知基础，学生很容易得到，但只是对于全等有了简单感性的认识，数学是整体的，结构的，逻辑的，要抓住核心的和关键，扣住本质和联系，凸显整体和关联，让学生发现隐藏在具体数学知识背后的思维方法。就能化繁为简化难为易，条理清晰，事半功倍。为了学生能对概念可以抓住本质，学会结构化学习数学的思维，下面进行片段展示。
【片段一】感知特征，认识概念
出示我们经常看到的形状，大小完全相同的图形：
师：你能找出生活实际中形状，大小完全相同的图形吗？
（学生观察可得出）
师追问：你是如何辨别两个图形的形状，大小是完全相同？
生：（交流谈论找到方法）将两个图形重叠，看看他们是否能够完全重合，能完全重合，他们的形状，大小就相同。这时学生从“两个图形的形状，大小完全相同”到“两个图形完全重合”就在大脑的思维中建构起来了，教师再适时点题，提出“全等形”的概念，接着教师把图形换成三角形，拿出两个形状，大小完全相同的三角形，就比较自然的过渡到全等三角形的概念，这样在学生的思维空间中得到了自然生长。这是一种结构化学习，结构化学习是将数学的逻辑结构和学生的认知结构的进行有效对接，是建立在数学知识系统和学生已有的认知基础之上的，在知识的形成与演化的过程中把握数学本身的逻辑结构，促进认知结构的生长和完善以此洞悉学生身心发展的基本规律。在教学案例中教师从让学生观察图形到如何辨别图形唤醒了学生对全等的整体认知，在“感性经验”的支撑下建立全等的直观表象，从更高层次辨别的方法上把握了学习内容，让学生重新建构新的数学知识。
【片段二】关系探究，理解概念
师：我把这两个三角形重合在一起之后，你发现了我们可以把这两个三角形称之什么？
生：全等三角形。
让学生总结全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“≌”表示，读作全等三角形。学生在学习全等三角形的概念上从具体特殊的研究中发现共性，普遍性的数学结构与知识。在探索过程中提炼出概括数学概念素养。
师：适时展示三角形经过平移，翻折180°，旋转之后是否还是全等三角形考察学生，如：
师：上面图形位置变化了，仍然全等吗？
生：会，虽然位置改变，但是形状，大小没有改变这个事实，即平移，翻折，旋转前后图形仍然全等。
师：那么位置改变后，我们只需要将它们重合在一起比较形状，大小，那么是不是随意叠在一起呢？
生：肯定不是，在讨论交流中学生就会在大脑上思考出如何重合在一起的方法，答依据角度大小等判断方法。从位置变化到是否全等？如何判断等问题层层深入，引导学生揭示隐藏在具体数学知识背后的思维方法。
教师：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角，因此图①△ABC≌△DEF。
师：说说图②，图③的对应顶点，对应边和对应角.
教师总结：图②中对应边AB和DB按照对应的点的顺序写，为了今后方便不能写成AB对应边BD，对应的字母按照重合的顺序写。
在图形的三种变换下理清全等三角形判断方法，这两部分知识整合在一起学习，将学生认知进行整合来研究关系，找到联系，实现建构，用思维带动知识学习，着力于同类之间逻辑关联的整体结构，初步从知识系统化走向思维结构化。
【片段三】实践运用，拓展思维
（出示变式练习）
（1） 图①△ABE≌△ACD，用字母表示出这两个三角形的对应顶点，对应边和对应角，让学生找出并说明找的方法！
（2） 图②与图③直接让学生表示全等三角形，并且表示对应点，对应边和对应角.
翻转，平移，旋转之后的变式图形的练习是对学生思维的巩固，先从一些具体的研究中发现全等的共性、数学结构与其他知识的关系，通过知识变式提炼出数学思想和方法。因为只有抓住全等三角形与图形变换之间的联系，才能更好地把握数学学习结构、理解结构、生成知识。
【片段四】回顾反思，总结方法
师：回顾刚才的练习，你有什么哪些方法判断全等？
（让学生讨论汇报全等三角形对应元素的方法）
生：可以通过题目给出的两三角形△ABE≌△ACD中找出对应元素，观察图形中角度大小相等以此让学生掌握全等的认识。“回头看”这种思维活动，学生能从图形平移，旋转，翻转之后依然能判断全等，联想到知识之间的结构关联是今后学习的持续生长力，结构化学习有效地促进学生自觉的进行比较，总结和反思。不断引领学生对学习过程进行回顾反思，使零散的知识、经验汇聚起来，使得学生能够条理化清晰化去认识事物的本质。
在今后学习中，将概念的教学置于由易到难、螺旋上升的整体性知识系统中，采用递进式、整体性的教学推进，让学生经历数学概念的萌芽、产生、辨析、比较、建模的过程，理解概念的本质意义，体会数学思想方法优越性，形成结构化思维。比如，在教学《矩形》的概念时让学生观察一般的平行四边形到矩形的变化过程，从而得出矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。抓住了平行四边形与矩形的联系，这一看似抽象的过程、始终联系具体实例展开，始终致力于让学生用自己的语言来描述学习体会和领悟。认知心理学家布鲁纳指出，学习过程是认知结构的组织和重新组织过程。然而，认知结构的组织和重新组织是由科学知识结构体系的内化和活化来实现的。所以，认知心理学家既强调原有认知结构的作用，也强调学习材料本身的内在逻辑结构，认为具有内在逻辑结构的材料与学生原有的认知结构联系起来，新旧知识发生相互作用，新知识在学生头脑中才能获得新的意义。只有通过这样的结构化学习，我们才能弄清相关概念的直观背景，包括如何能将新的概念与先前已掌握的其他概念很好地联系起来。
责任编辑 徐国坚