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2007年9月，我接手北师大版《数学》七年级上册的教学. 在很短的一段时间里，在课堂上，我竟两次遭遇了“老师，为什么1+2+22+23+…+2n-1=2n-1？”这个问题.
第一次偶然相逢
《有理数及其运算》的第10节是《有理数的乘方》，教材里面编排了一例“读一读”——《棋盘上的学问》. 编排的意图是让学生体会数的大小，培养学生的数感. 文中这样写道：“……放满一个棋盘上的64个格子需要1+2+22+23+…+263=264-1粒米. 264-1到底有多大呢？在“Z+Z（初中代数）”中，按如下操作……可见答案是一个20位数……”
得知这个数是一个20位数时很多同学都“哇”了起来. 这个时候，突然，有个学生站起来向我提了个问题：“老师，为什么1+2+22+23+…+263=264-1呢？”
显然，这个时候我不能回答：“这是计算机得出的结果. ”他的问题让我始料不能及：从2002年起，我已三度执教这本教材. 以前我也讲过这一部分内容，但从来没有一个同学向我提出这个问题. 更何况，这里并不要求学生知道为什么1+2+22+23+…+263=264-1！
他的问题很快也引起了其他同学的注意，他们大多也流露出想知道为什么1+2+22+23+…+263=264-1的眼神.
为什么1+2+22+23+…+263=264-1呢？应该说，这个问题对我这个有过高等教育经历的数学教师来讲不是难题，无非就是一个简单的等比数列求和而矣！但考虑到七年级的学生此时刚刚接触乘方知识，还不能很好地进行乘方运算. 我担心此时给他们讲会增加他们对数学学习的心理负担. 我对他们说：“这应该是个不难的问题，过上一段时间，等大家的知识储备够了，廖老师再给大家讲，好吗？”
听我这么说，同学们也就放心地投入后面的学习中去了.
时间一天一天地过去，在繁琐的教学工作中，我逐渐忘却了这件事儿. 想必学生也一直以为他们“知识还没有储备够”，所以一直也没有学生再向我提起那个问题. 没想到，大约二十天之后，我又与这个问题——
第二次不期而遇
那天，我上第三章《用字母表示数》第六节《探索规律》. 按照教学设计，我正在处理教材上的随堂练习：
将一张长方形的纸对折，如右图所示可以得到一条折痕. 继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行. 连续对折6次后，可以得到几条折痕？如果对折10次呢？对折n次呢？
为了探究对折n次可能得到几条折痕，我引导学生将这个问题与折纸后纸的的张数那个问题（教材上出现过的一个较为重要的数学模型）进行了比较，得到了这样的一个表：
次数折后纸的张数折痕的条数1221-1=122222-1=332323-1=7………………n2n2n-1
学生们通过观察，很快发现了数字特征，找到了规律，并得出了对折n次后折痕的条数为2n-1条的结论.
我本以为这个随堂练习就此结束，就在这个时候，一个学生举了手，并站起来说：“我的答案不是这样的！”
我一惊，心里想：“这么容易看出来，你怎么会有另外的答案？”我在心里甚至给这个学生的答案判了“死刑”——肯定是错的. 但我仍然示意他把他的想法讲出来.
他说：“我认为对折n次后折痕的条数是1+2+22+23+…+2n-1！因为折1次有1条折痕，这时纸变成了2张，所以折第2次时增加2条折痕，此时纸变成22张，折第3次时折痕增加22条……依次类推，折第n次时在上一次的基础上增加2n-1条折痕. 也就是说，折痕数随折纸次数快速增加，且每折一次，原有折痕不变，新增折痕数为上一次折后纸张的层数2n－1. 所以折n次后的折痕数是1+21+22+23+…+2n-1所以最后纸上有1+21+22+23+…+2n-1条折痕！”
他的分析完全正确，而且极具思维智慧，这也是我没料到的.
在他的启发下，另一个学生起来阐述了他的想法：“每次折后观察折痕数与纸张的形状，发现纸张被折痕分成若干个长方形，且折痕数比长方形个数少1. 折痕将纸分成的长方形个数恰如是折叠后纸张的层数，折n次的纸张层数是2n，所以折n次，折痕数是2n－1. ”
他的分析也是正确的，也极具价值.
我马上意识到，其实1+2+22+23+…+2n-1和2n-1和本来就是相等的.
我向那两位位学生投去了赞许的目光，说：“你们是对的！”事实上，我明显感到这两个学生解决这个问题的思维层次比我讲这个问题的思维层次高得多.
其他学生也逐渐明白了他们的意思.
“依照你这么说，1+2+22+23+…+2n-1和2n-1本来就是相等的？”终于有学生问出了这个问题.
“是的. ”我说.
“为什么呢？为什么1+2+22+23+…+2n-1=2n-1呢？”
这不就是我们在《棋盘上的学问》中遇到的问题吗！在短短的二十几天的学习里，我们就两次与它相遇，看来，我有必要向学生们讲讲这个问题了.
因为学生刚学过《探索规律》，我先让他们看了一组式子：
1+1=2；
2+2=4；
22+22=23；
……
同学们很快得出了2n-1+2n-1=2n这个规律.
接下来，我提示学生给式子左边作了如下变形：
1+1+2+22+23+…+2n-1-1
=2+2+22+23+…+2n-1-1
=……
学生马上明白了我的意思，很快就得出了结论.
哦，原来如此. 看着学生如释重负的样子，我又顺势给他们介绍了另一种方法：
设S=1+2+22+23+…+2n-1，
则2S=2+22+23+…+2n.
错位相减即得结论.
这种解法更令学生惊叹！我知道，这个时候，一种探究的乐趣已深深渗入这些学生们的心田.
结束语
这是我和学生一起探究数学问题的一个片断，但它对我的影响是很深远的. 从“棋盘上的学问”到“折痕的条数”，再从“折痕的条数”回到“棋盘上的学问”，我感到教材上那一段段原本不起眼的文字背后，竟有如此奇妙的世界等待着我们去探寻.
新课程标准的基本理念指出：“教师应……帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验. ”也许，我和学生作的这次探究，并没能达到新课程标准中说的高度. 但我仍然感到，教师适度引导探究性学习，虽然学生的感知一开始处于表面现象，却是一个亲自参与了由表及里的不断深入的理解过程，从而品尝了发现所带来的快乐. 探究活跃了学生思维，让数学变得亲近，学生乐于接受.
作者简介 廖帝学，1973，男,四川省广安市邻水县人,中学数学一级教师,现任教于重庆市第九十五中学,发表100余篇解题教学方面的文章.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
第一次偶然相逢
《有理数及其运算》的第10节是《有理数的乘方》，教材里面编排了一例“读一读”——《棋盘上的学问》. 编排的意图是让学生体会数的大小，培养学生的数感. 文中这样写道：“……放满一个棋盘上的64个格子需要1+2+22+23+…+263=264-1粒米. 264-1到底有多大呢？在“Z+Z（初中代数）”中，按如下操作……可见答案是一个20位数……”
得知这个数是一个20位数时很多同学都“哇”了起来. 这个时候，突然，有个学生站起来向我提了个问题：“老师，为什么1+2+22+23+…+263=264-1呢？”
显然，这个时候我不能回答：“这是计算机得出的结果. ”他的问题让我始料不能及：从2002年起，我已三度执教这本教材. 以前我也讲过这一部分内容，但从来没有一个同学向我提出这个问题. 更何况，这里并不要求学生知道为什么1+2+22+23+…+263=264-1！
他的问题很快也引起了其他同学的注意，他们大多也流露出想知道为什么1+2+22+23+…+263=264-1的眼神.
为什么1+2+22+23+…+263=264-1呢？应该说，这个问题对我这个有过高等教育经历的数学教师来讲不是难题，无非就是一个简单的等比数列求和而矣！但考虑到七年级的学生此时刚刚接触乘方知识，还不能很好地进行乘方运算. 我担心此时给他们讲会增加他们对数学学习的心理负担. 我对他们说：“这应该是个不难的问题，过上一段时间，等大家的知识储备够了，廖老师再给大家讲，好吗？”
听我这么说，同学们也就放心地投入后面的学习中去了.
时间一天一天地过去，在繁琐的教学工作中，我逐渐忘却了这件事儿. 想必学生也一直以为他们“知识还没有储备够”，所以一直也没有学生再向我提起那个问题. 没想到，大约二十天之后，我又与这个问题——
第二次不期而遇
那天，我上第三章《用字母表示数》第六节《探索规律》. 按照教学设计，我正在处理教材上的随堂练习：
将一张长方形的纸对折，如右图所示可以得到一条折痕. 继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行. 连续对折6次后，可以得到几条折痕？如果对折10次呢？对折n次呢？
为了探究对折n次可能得到几条折痕，我引导学生将这个问题与折纸后纸的的张数那个问题（教材上出现过的一个较为重要的数学模型）进行了比较，得到了这样的一个表：
次数折后纸的张数折痕的条数1221-1=122222-1=332323-1=7………………n2n2n-1
学生们通过观察，很快发现了数字特征，找到了规律，并得出了对折n次后折痕的条数为2n-1条的结论.
我本以为这个随堂练习就此结束，就在这个时候，一个学生举了手，并站起来说：“我的答案不是这样的！”
我一惊，心里想：“这么容易看出来，你怎么会有另外的答案？”我在心里甚至给这个学生的答案判了“死刑”——肯定是错的. 但我仍然示意他把他的想法讲出来.
他说：“我认为对折n次后折痕的条数是1+2+22+23+…+2n-1！因为折1次有1条折痕，这时纸变成了2张，所以折第2次时增加2条折痕，此时纸变成22张，折第3次时折痕增加22条……依次类推，折第n次时在上一次的基础上增加2n-1条折痕. 也就是说，折痕数随折纸次数快速增加，且每折一次，原有折痕不变，新增折痕数为上一次折后纸张的层数2n－1. 所以折n次后的折痕数是1+21+22+23+…+2n-1所以最后纸上有1+21+22+23+…+2n-1条折痕！”
他的分析完全正确，而且极具思维智慧，这也是我没料到的.
在他的启发下，另一个学生起来阐述了他的想法：“每次折后观察折痕数与纸张的形状，发现纸张被折痕分成若干个长方形，且折痕数比长方形个数少1. 折痕将纸分成的长方形个数恰如是折叠后纸张的层数，折n次的纸张层数是2n，所以折n次，折痕数是2n－1. ”
他的分析也是正确的，也极具价值.
我马上意识到，其实1+2+22+23+…+2n-1和2n-1和本来就是相等的.
我向那两位位学生投去了赞许的目光，说：“你们是对的！”事实上，我明显感到这两个学生解决这个问题的思维层次比我讲这个问题的思维层次高得多.
其他学生也逐渐明白了他们的意思.
“依照你这么说，1+2+22+23+…+2n-1和2n-1本来就是相等的？”终于有学生问出了这个问题.
“是的. ”我说.
“为什么呢？为什么1+2+22+23+…+2n-1=2n-1呢？”
这不就是我们在《棋盘上的学问》中遇到的问题吗！在短短的二十几天的学习里，我们就两次与它相遇，看来，我有必要向学生们讲讲这个问题了.
因为学生刚学过《探索规律》，我先让他们看了一组式子：
1+1=2；
2+2=4；
22+22=23；
……
同学们很快得出了2n-1+2n-1=2n这个规律.
接下来，我提示学生给式子左边作了如下变形：
1+1+2+22+23+…+2n-1-1
=2+2+22+23+…+2n-1-1
=……
学生马上明白了我的意思，很快就得出了结论.
哦，原来如此. 看着学生如释重负的样子，我又顺势给他们介绍了另一种方法：
设S=1+2+22+23+…+2n-1，
则2S=2+22+23+…+2n.
错位相减即得结论.
这种解法更令学生惊叹！我知道，这个时候，一种探究的乐趣已深深渗入这些学生们的心田.
结束语
这是我和学生一起探究数学问题的一个片断，但它对我的影响是很深远的. 从“棋盘上的学问”到“折痕的条数”，再从“折痕的条数”回到“棋盘上的学问”，我感到教材上那一段段原本不起眼的文字背后，竟有如此奇妙的世界等待着我们去探寻.
新课程标准的基本理念指出：“教师应……帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验. ”也许，我和学生作的这次探究，并没能达到新课程标准中说的高度. 但我仍然感到，教师适度引导探究性学习，虽然学生的感知一开始处于表面现象，却是一个亲自参与了由表及里的不断深入的理解过程，从而品尝了发现所带来的快乐. 探究活跃了学生思维，让数学变得亲近，学生乐于接受.
作者简介 廖帝学，1973，男,四川省广安市邻水县人,中学数学一级教师,现任教于重庆市第九十五中学,发表100余篇解题教学方面的文章.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”