B.Host，B.Kra和A.Maass在他们的文章”Complexitiy of nilsystems and systemslacking nilfactors，arXiv:1203.3778v2”中证明了每一个幂零系统的复杂度的上界和下界都是被线性多项式控制的，且这些多项式具有明确的指数.不仅如此，上下界多项式的指数还是相等的.一个自然的问题就是这个定理的逆命题是否成立.　　 在这篇论文中，我们将会对这个问题给出一个否定的答案，即存在一个极小系统，它的拓扑复杂度是线性多项式的，但它不是一个相应的幂零系统.　　 在第一章和第二章中，我们会介绍拓扑动力系统、幂零系统以及复杂度相关的背景知识和概念;在第三章里，我们再计算两个经典系统的拓扑复杂度:Denjoy系统和Furstenberg的例子;最后，利用上面两个系统构造出一个反例.