【摘 要】
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本文利用反谱变换方法研究几个连续和离散可积方程在无穷直线上的相关问题,并给出它们的孤子解.这几个问题包括TD方程的非零边界问题,两分量推广Ragnisco-Tu方程的衰减边值问题以及Tzitzeica方程的零边界问题.反谱变换方法的关键步骤是对非线性可积方程的线性谱问题进行谱分析.本文所研究问题的一个难点在于有的方程所涉及的谱空间为多叶Riemann面,需要先对谱空间进行改造,然后在新的谱空间中,
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本文利用反谱变换方法研究几个连续和离散可积方程在无穷直线上的相关问题,并给出它们的孤子解.这几个问题包括TD方程的非零边界问题,两分量推广Ragnisco-Tu方程的衰减边值问题以及Tzitzeica方程的零边界问题.反谱变换方法的关键步骤是对非线性可积方程的线性谱问题进行谱分析.本文所研究问题的一个难点在于有的方程所涉及的谱空间为多叶Riemann面,需要先对谱空间进行改造,然后在新的谱空间中,引入与时间无关的线性谱问题的基本矩阵解ψ±(也称Jost函数),以及散射矩阵S(k).借助Green函数的相关性质,对新的Jost函数所满足的积分方程进行分析,揭示了Jost函数以及散射矩阵元素的解析性.进而,讨论Jost函数在奇点处的渐近性质.反谱变换的另一个重要步骤是位势的重构,以及显式解的获得.具体来说,通过定义新的分片解析函数,构造Riemann-Hilbert(RH)问题.借助正则化,或Cauchy投影算子,利用散射数据重构位势.然后,在无反射位势条件下,构造可积方程的显式解,包括孤子解.这四个问题的相同点是散射系数的零点均为单阶的.需要强调的是,第二章,第四章,第五章中散射系数的零点只存在于它们的解析区域内,在边界处不存在零点,而第三章中散射系数的零点存在于它们的解析区域及其边界上.因此,在求孤子解的过程中对构造的RH问题处理方式也会有所不同.
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