【摘 要】
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偏微分方程是数学研究的重要分支之一,在物理学、几何学、工程技术等学科有着广泛的应用.在共形几何中Paneitz-Branson算子作为一类四阶椭圆偏微分算子有着重要的研究意义,相关的四阶偏微分方程解的存在性等问题的研究紧密联系着Q-曲率问题.这些理论研究中积分不等式是必不可少的估计工具,例如Sobolev不等式、等周不等式、Moser-Trudinger不等式等.另外,这些积分不等式的最佳常数还可
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偏微分方程是数学研究的重要分支之一,在物理学、几何学、工程技术等学科有着广泛的应用.在共形几何中Paneitz-Branson算子作为一类四阶椭圆偏微分算子有着重要的研究意义,相关的四阶偏微分方程解的存在性等问题的研究紧密联系着Q-曲率问题.这些理论研究中积分不等式是必不可少的估计工具,例如Sobolev不等式、等周不等式、Moser-Trudinger不等式等.另外,这些积分不等式的最佳常数还可以帮助掌握流形几何结构的编码信息.本文将集中研究欧氏空间上四阶椭圆算子相关的Hardy-Sobolev迹不等式极值函数的存在性和相关的四阶方程解的分类等性质,为带边流形上的Q-曲率问题提供理论支撑.本文主要研究上半空间中与双调和算子相联系的Hardy-Sobolev迹不等式极值函数的存在性和一类带有Neumann边界条件的非线性双调和方程解的分类和对称性.其中上面方程是与双调和算子相联系的Hardy-Sobolev迹不等式的Euler-Largange方程的特殊情形.文章构思框架如下:第1章,介绍本文的研究背景和意义.主要介绍与Laplace算子和双调和算子相联系的Sobolev不等式和Sobolev迹不等式的研究现状,以及上半空间中相关的带有Neumann边界条件的非线性椭圆方程解的分类等性质的研究进展.第2章,证明与双调和算子相联系的Hardy-Sobolev迹不等式极值函数的存在性.利用集中列紧原理,克服边界和权函数带来的困难,借助加权的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式,在指数满足适当的限制条件下,证明了极值函数的存在性.第3章,讨论上半空间的一类带有Neumann边界条件的非线性双调和方程解的分类.由于所研究方程满足共形不变性,借助Kelvin变换和移动球面法,克服四阶算子的极值原理不成立的困难,我们证明了方程解在边界上的显式表达式,为进一步研究方程解的分类提供了重要的边界信息.第4章,讨论上半空间的一类带有Neumann边界条件的非线性双调和方程解的柱对称性.在上一部分的研究基础上,借助Kelvin变换和移动平面法,克服无穷远处解的衰减性的假设限制,我们证明了方程解是柱对称的,为进一步研究方程解的分类提供了重要的对称性信息.
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