【摘 要】
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数论有着悠久的历史,从数字产生开始就伴随出现了一些简单地数论问题,经历几千年的发展,这门古老的学科魅力依旧,在科技迅猛发展的近现代依然扮演着不可或缺的角色.其中一些
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数论有着悠久的历史,从数字产生开始就伴随出现了一些简单地数论问题,经历几千年的发展,这门古老的学科魅力依旧,在科技迅猛发展的近现代依然扮演着不可或缺的角色.其中一些数论问题的研究和解决具有重大而深远的意义.随之而来也不断有一些新的问题被提出并吸引一大批学者去研究和解决它,其中方程的解的问题一直都是数论研究中的一项重要内容.本文主要是运用初等方法对Smarandache函数；约数和函数和其他一些特殊数论函数方程的解得问题进行了研究,具体研究成果包括以下几方面的内容：1.对任意正整数n,著名的Smarandache函数S(n)定义为S(n)=min{m：m∈N,n|m!},而伪Smarandache函数Z1(n)定义为Z1(n)min{m：m∈N,n|12+22+…+m2},其中N为所有正整数集合.主要目的是研究方程Z1(n)+1=S(n)的可解性,并利用初等方法得到了该方程的所有正整数解,同时也给出了所有解的具体表示形式.2.对于正整数n,设n=p1α1p2α2…prαr是n的标准分解式,又设σ(n)是n的约数之和.本文运用初等数论方法讨论了函数方程σ(n)=k(n+1)的正整数解(k,n),证明了：当r=2时,该方程仅有正整数解(k,n)=(2,2α1p2),其中p2=2α1+1-3.3.设b是大于3的正奇数.本文运用初等方法以及同于性质讨论了不定方程2yny-x=(b+2)x-bx的正整数解(x,y,n)的存在性问题,对于b≠7(mod8)的情况给出了该方程的全部解,从而部分地解决了该方程的可解性问题.
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