图像恢复问题一直是计算机视觉和人工智能领域的重要内容之一,在图像处理领域中是最基本又十分关键的技术。该问题又分为去噪,去模糊,修复,以及近几年越来越热门的去雾和去雨雪等。与其他方法相比,偏微分方程和变分方法在图像恢复问题中展现出强大的生命力。针对问题,根据数学理论和方法,如何建立基于变分和偏微分方程的模型,提出高效算法是此方面研究的主要内容。本文主要提出了基于广义全变差（total generalized variation,简称TGV）的去雾模型和基于多重卷积下确界振荡 TGV（m-fold infimal convolution of oscillation TGV,简称 ICTGVosci）的雨纹去除模型,给出了两个模型的优化算法,通过大量完备的数据实验和比较试验论证了所提模型的优越性和算法的有效性;提出了基于扩散方程的去噪问题的有限元算法,证明了收敛性并给出数值实验结果。本文的研究工作以及创新点主要体现在以下几个方面:1.在雾天图像退化的物理原理描述中,雾的浓度与图像透射率是负相关的。基于对TGV约束的泛函更适合描述自然彩色图像及其透射率图的观察,我们提出了针对图像强度和图像透射率两个TGV正则项的变分模型,建立一个高阶优化问题。进一步,我们证明了该变分模型解的存在唯一性。采用原始对偶算法处理优化中的相关鞍点问题,统一求解变分模型。对大量自然有雾图像的数值实验表明,该方法在主观和客观视觉质量评价方面均优于现有的几个重要的先进方法。特别地,与基于全变差（TV）正则项的模型相比,本模型生成的无雾图像产生的阶梯伪影较少,保留的远景图像细节信息较多。2.因为真实场景的雨是多方向且强度不同的,而多重卷积下确界振荡TGV具有检测多方向和多尺度纹理特征的能力,这正符合我们对自然场景中雨纹特征的描述。于是我们提出了基于ICTGVosci正则项的去雨模型,给出了该模型解的存在性证明,之后,我们引入原始对偶算法来求解该模型。数值实验表明我们提出的模型与现有的先进方法相比具有竞争力,实验包括了合成图像和自然图像,并采用了主客观质量评价。特别地,所提模型在处理大雨及现实生活中复杂场景的雨时有非常强的优势。3.虽然有限差分法（FDM）是一种成熟的求解图像恢复问题的计算方法,但是有限元法（FEM）的研究工作还相对较少。而该方法具有较强的物理背景,使得差分方程的推导清晰且具有物理意义;结合变分方法得到的有限元离散格式具有良好的稳定性和收敛性。因此,本文给出了两种经典的图像去噪模型You-Kaveh（Y-K）模型和Perona-Malik（P-M）模型的有限元数值方法,并对该方法进行了系统的数值分析。通过对比实验表明,本文采用的有限元方法在保持视觉质量的同时,可以有效的缓解FDM方法中产生的阶梯效应和块效应。