非紧性测度的研究已经有九十年的历史.它在非线性分析的诸多领域,包括不动点定理、算子谱理论、积分方程、常微分方程、偏微分方程、Banach空间几何、分数阶微分方程及最优化理论等,都有着重要的应用.另一方面,由于理论工具的缺乏,非紧性测度在理论上的发展并不尽如人意,无论是从深度还是广度上都滞后于应用对它的需求.究其原因,一直以来非紧性测度在理论上与其它数学分支有机结合的桥梁没有建立起来,因此其它数学分支的理论、方法都无法借鉴.由于对一般的非紧性测度没有很好的表示方法,在应用时往往不得不回到非紧性测度的原始定义来入手讨论.本文的主要目的是建立非紧性测度及其广义形式的表示理论和解决Kuratowski非紧性测度可数决定性这一长期的公开问题,并应用表示理论建立与Banach空间初值问题有关的基本积分不等式.本文的主要结果如下:1.定理1（非紧性凸测度的表示定理）对每个Banach空间X,都存在一个Banach函数空间C（K）,其中K是紧的Hausdorff空间,及一个1-Lipschitz的三次保序嵌入映射T=TQJ:B（X）→C（K）,使得对X的每个非紧性凸测度μ,都有一个定义在锥V=T（B（X））? C（K）+上的单调连续凸函数F,满足F（T（B））=μ（B）,?B∈B（X）,且对任意的 r≥0,F 在 V∩（rBC（K））上是 cr-Lipschitz 的,其中 cr=μ[（1+r）BX].2.定理2（初值问题的基本积分不等式）设μ是Banach空间X的一个非紧性凸测度.若G ? L1（[0,a],X）,ψ（t）≡supg∈G‖g（t）‖∈L1（[0,a]）,使得映射JG:[0,a]→ Cb（Ω）,JG（t）（ω）=supg∈G＜ω,g（t）＞,t∈[0,a],ω ∈ Ω ≡BX*是强可测的,则有μ{∫0τG（s）ds}≤1/τ∫0τμ{τG（s）}ds,?0≤τ≤a.特别地,若μ是次线性的非紧性测度或τ ≤ 1,则有μ{f0τG（s）ds}≤∫0τμ{G（s）}ds.3.定理3（Kuratowski非紧性测度的可数决定性）设X是度量空间,对任意有界集B ? X,都存在一个可数子集B0? B使得α（B0）=α（B）.4.作为定理1和定理2的应用,我们拓展了 Banach空间初值问题x’（t）=f（t,x）,x（0）=x0的一些经典结果.5.非紧性凸测度的表示定理（定理1）对于非广义紧性凸测度,包括非弱紧性凸测度、非超弱紧性凸测度、非Radon-Nikodym性质凸测度和非Asplund凸测度,仍然是成立的.定理2中的基本积分不等式对于各种各样的非广义紧性凸测度在相同的条件下也是成立的.在方法上,a)本文借助于2018年程立新等建立的“三次保序嵌入定理”的基本结构,以及利用凸分析的工具尤其是次微分和Gateaux可微性理论来研究非紧性测度及非广义紧性测度的表示理论.b)在表示定理的证明中,要克服的最大难点是:证明由非紧性凸测度及非广义紧性凸测度所确定的,定义在无内点的度量锥上的凸函数是局部Lipschitz的.相应的问题在凸分析中没有经典的方法可以参考.c)为了证明Kuratowski非紧性测度的可数决定性,不仅要借鉴近十年发展起来的局部化的有限表示理论,而且要引入一种更强的有限表示,称之为“强有限表示”,并证明Banach空间的每个非空集合都在其某个可数子集中做强有限表示.