本文研究了一类带有多个临界非线性项和多个奇点的半线性椭圆方程组.运用变分方法,证明方程组Rayleigh商极小值和基态解的存在性与唯一性.本文分为以下三个部分:在第一章中,我们首先给出了本文所要讨论的方程组及其研究背景.接着我们介绍了本文用到的符号及相关定义.最后我们介绍了本文的主要研究成果和结构安排.在第二章中,我们主要研究的是基态解的存在性.我们首先运用Schwartz对称化和集中紧性原理,验证极小化序列的强收敛性,然后进一步证明最佳Sobolev常数达到函数对的存在性,从而证明了基态解的存在性.另外,我们还证明了在一定条件下最佳Sobolev常数正的和半平凡达到函数对的存在性,进而证明正基态解和半平凡基态解的存在性.在第三章中,我们主要讨论的是基态解的不存在性.我们首先假设最佳Sobolev常数存在达到函数对,然后利用已知条件推出矛盾,最后运用反证法原理得出最佳Sobolev常数不可能达到,从而证明了基态解的不存在性。