本文讨论了乘积空间Rn×S (1)中的f-极小超曲面.其中,若dμ为Rn的标准体积元,则(Rn,e-f-fdμ)是标准的高斯空间.主要内容分为两部分.在第一部分,通过引入一个整体定义的光滑函数α(超曲面与S1(a)的角度函数),并导出了一些有意思的Simons型微分恒等式,进而证明了一些刚性的结论;在第二部分,我们对一些标准例子的稳定性进行了研究.得到的主要定理如下:定理0.1 (见第三章定理3.2-3.6).设x:Mn→Rn×S1(a)是一个完备定向proper的f-极小超曲面.(1)如果α =常数,则要么α≡0且有x(Mn)= Σ-1 × S1(a),其中Σn-1是Rn中的self-shrinker,要么α ≡ 1 且有x(Mn)=R × sn } 是一个slice超曲面.(2)如果α不变号且有第二基本形式的模长|h| ∈ Lf2,则有x(Mn) = Σn-1 S1(a),或者,x(Mn) = Rn × {s0}.(3)如果|▽h| ∈Lf2且存在常数c,0 < c < 1,使得2|▽αα|2 ≤ c|▽h|2,以及|h}2 ≤ 1 + α2,则要么h≡ 0且x(Mn) = Rn× {s0}或Rn-1 × S1(a),要么|h|2 ≡ 1 且x(Mn) = Sk((?)) ×Rn-k-1× S1(a),1≤k≤n-1.(4)如果|h|2 ≤ 2α2且存在常数c,0< c < 1,使得|▽α|2 ≤ c|▽h|2,则有x(Mn)=Rn× {s0}或Rn-1 × S1(a).(5)如果|h|2 ≤ 3α2-1,且有|h|2 = const或者|▽h| ∈ Lf2,则.r(Mn) = Rn × {s0}.(6)如果1/2(1-α2 -c) ≤ |h|2 ≤ 1/2(1 - α2 + c),其中c=(?),则要么.x(Mn) = Rn× {s0}或Rn-1 × S1(a).要么.r(Mn) = Sk((?)) × Rn-k-1 × S1(a),1 ≤ k ≤n - 1.定理0.2 (见第三章定理4.1). slice型嵌入超曲面i: Rn× {s0} → Rn× S1(a)是(Rn ×S1(a) ,y)中唯一完备的稳定f-极小超曲面.本文共分为四章:第一章是绪论,主要介绍本文的研究背景及具体的研究成果.第二章是预备知识,共分两节.第一节给出了相关符号的定义;第二节介绍了一些典型的f-极小超曲面的例子.第三章推导出了Rn× S1(a)中f-极小浸入的Simons型恒等式,进而得到了一些刚性定理.第四章讨论了典型例子的稳定性,得到了定理4.1.