【摘 要】
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Sobolev方程是一类包含三阶时空混合导数的偏微分方程,能描述具有色散与扩散平衡的介质波和陡峭的非线性波,在流体力学和许多其他学科中都有重要作用;Kd V方程是一类包含2n+1阶空间导数的非稳态偏微分方程,用于描述非线性长波问题,其解通常含有孤立子,是非常重要的奇数阶微分方程.本文的主要研究内容是对无稳定子混合弱有限元方法进行创新,求Sobolev方程和Kd V方程的数值解.无稳定子混合弱有限元
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Sobolev方程是一类包含三阶时空混合导数的偏微分方程,能描述具有色散与扩散平衡的介质波和陡峭的非线性波,在流体力学和许多其他学科中都有重要作用;Kd V方程是一类包含2n+1阶空间导数的非稳态偏微分方程,用于描述非线性长波问题,其解通常含有孤立子,是非常重要的奇数阶微分方程.本文的主要研究内容是对无稳定子混合弱有限元方法进行创新,求Sobolev方程和Kd V方程的数值解.无稳定子混合弱有限元方法是基于混合弱有限元方法的推广,先通过引入中间变量将原方程转化成一阶方程组,得到Galerkin变分形式,再定义弱函数逼近原函数,定义Pk+1（Ih）中的离散弱导数近似导数,以求在合适的分片有限元空间中,达到无稳定子下的数值解稳定性和误差最优收敛阶.该方法能一定程度地简化已有弱有限元格式的结构,使对Sobolev方程和Kd V方程的数值分析和实际计算都变得更容易.本文的一部分是使用新的无稳定子H~1-Galerkin混合弱有限元方法求解一维变系数线性Sobolev方程.我们首先将传统的H~1-Galerkin混合有限元方法与无稳定子弱有限元方法结合,构建半离散变分格式,并且在不需要求inf-sup条件（又称Ladyzhenskaya-Babu?ka-Brezzi条件,简称为LBB条件）的情况下,我们基于弱导数L~2范数与弱函数L~2范数的有界关系,证明了空间上的解的适定性和误差在L~2范数下的最优阶先验估计.接着我们用隐θ格式离散时间,得到全离散格式后,证明了解的适定性和时空有关的误差收敛阶.最后通过对常系数和变系数的数值算例分别验证了理论分析结果.本文的另一部分,我们提出了新的混合形式的无稳定子修正弱有限元方法求解一维线性Korteweg-de Vries方程（以下简称为Kd V方程）.我们采用修正弱有限元方法在单元边界处的定义,即用内部函数在边界处的平均值代替边界函数,此方法的优势在于能减少实际运算中的自由度.本文采用的新方法是通过对连续混合变分形式进行修正弱有限元逼近,得到无稳定子半离散格式,接着我们基于弱导数的特殊等式,证明了该格式的三条守恒律,并应用特殊投影,证明了在多项式阶数k为偶数,网格剖分数N为奇数时,均匀剖分下的误差L~2范数的最优阶估计.最后,我们通过数值算例验证了该方法的可行性.
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