本文中我们主要研究了根式分拆函数,着色分拆函数和加性表示函数.具体工作如下:1.根式分拆函数的渐近公式令p（n）表示n的分拆个数,这就是经典的分拆函数.1918年,Hardy和Ramanujan给出了p（n）的渐近公式分拆函数p（n）的研究有着非常悠久的历史,并且已经衍生出了很多其它有限制条件的分拆函数.令p（n,k）是n恰好表成fk个部分的分拆个数.1941年,Erdos和Lehner给出了它的渐近公式p（n,k）～（n-1 k-1）/k! when k=o（n1/3）.设A = {a,a2,…,ak}是自然数集的有限子集,且（a1,a2,…,ak）= 1.令p（n,A）是n表成A中元素之和的表法个数.2000年,Nathanson给出了它的渐近公式.本文,我们研究根式分拆函数的渐近公式.对任意正实数r,令根式分拆函数pr（n）表示方程n =[r（?）a1+[r（?）a1]+…+[r（?）ak]解的个数,其中ai（1 ≤ i ≤ k）是整数,且满足1 ≤ a1 ≤ a2 ≤ ≤ afk.2015年,我们给出了p2（n）的上下界,即存在两个正常数τ1和τ2使得exp（τ1n2/3）≤ p2（n）≤exp（τ2n2/3）.2016年,Luca和Ralaivaosaona进一步给出了p2（n）的渐近公式.2016年,对任意实数r>1,我们也给出了pr（n）的上下界.在第一章中,对任意实数r>1,我们给出了pr（n）的渐近公式,即其中l是满足l<r ≤ l +1的整数,c1,c2,,cl是可以计算的常数,且仅依赖于r.特别地,c1 =（1 + 1/r）（rζ（r + 1）Γ（r + 1））1/r+1.目前该结果发表在J.Number Theory上.2.着色分拆函数的渐近公式有很多数学家关注一些特殊的着色分拆函数的性质.例如,Chan和Kim等人考虑了 2-着色分拆函数qk（n）,它是在n的分拆中,共有两种颜色着色每一个分拆项,其中一种颜色只着色fk的倍数的分拆项的分拆个数.Chan和Cooper等人研究了 4-着色分拆函数c（n）,它是在n的分拆中,共有四种颜色着色每一个分拆项,其中两种颜色只着色3的倍数的分拆项的分拆个数.这些学者给出了一系列的同余等式.在本文中,我们给出一般的着色分拆函数的渐近公式.给定正整数1 = s1<s2<…<Sfk和正整数l1,l2,,lk.在n的分拆n =a1+a2+…+ am中,用l1+l2+…+lk种颜色给分拆项aj（1≤j≤m）着色,不妨设这些颜色为1,2,,l1+ l2 + … +lk.其中颜色l1 + l2+…li-1 + 1,,l1+ l2 +…+li只着色si（1 ≤ i ≤k）的倍数的分拆项,我们称这样的分拆个数为（s,l）-着色分拆函数g（s,l,n）,其中s =（s1,s2,,sk）,1=（l1,l2,,lk）.在第二章中,我们给出g（s,l,n）的带有余项的渐近公式,即对于任给的正数ε,我们有其中3.加性表示函数设集合A（?）N,n ∈N,令RA（n）表示方程n = a + b,a,b∈A的解数.经典的Erdos-Turan猜想是指若对充分大的整数n都有R4（n）≥ 1,则RA（n）是无界的.但是该猜想至今还没有解决.有很多数论学者也研究群上的表示函数.设G为有限阿贝尔群,|G| = m,A（?）G,g∈ G.定义RA（g）是方程g=a+b,a,b∈A的解的个数.最近,Sandor和Yang证明了,若m ≥ 36,且对任意n ∈ 有RA（n）>1,则存在n0 ∈Zm,使得RA（no）≥6.在第三章中,对有限阿贝尔群G,且|G| = m,集合4（?）G,我们证明了:（a）若集合{g:g ∈ G,RA（g）=0}中元素的个数不超过7/32m-1/2（?）10m-1,则存在g∈G使得RA（g）≥ 6;（b）若1 ≤ RA（g）≤ 6,g ∈G,则集合{g:g ∈ G,RA（g）=6}的元素个数不少于7/32m-1/2（?）10m-1.该成果已发表在Bull.Aust.Math.Soc.上.