【摘 要】
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计数问题是组合数学研究的主要方向之一,尤其是Stirling数成为了众多研究者极其感兴趣的对象,这也使得计数理论在不断的发展和完善着.
2002年,Evedtt等在研究二阶勒让德
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计数问题是组合数学研究的主要方向之一,尤其是Stirling数成为了众多研究者极其感兴趣的对象,这也使得计数理论在不断的发展和完善着.
2002年,Evedtt等在研究二阶勒让德微分表达式的左定谱理论时,首次提出了Legendre-Stirling数这一概念,并指出它是勒让德微分表达式的拉格朗日对称整数次幂的系数,有着类似于经典第二类Stirling数的性质,因此命名为第二类Legendre-Stirling数.2009年,Andrews和Linttlejohn给出了第二类Legendre-Stirling数的组合解释和第一类Legendre-Stirling数的定义.2010年,Egge给出了第一类Legendre-Stirling数的一个组合解释.
在此基础上,本文着重研究两类Legendre-Stirling数的计算公式与第一类和第二类广义Legendre-Stirling数的相关性质.
本文的主要工作包括以下几个方面:
(1)通过仔细分析两类Legendre-Stiriing数的相关理论,发现这些数存在着某种规律.文中首先给出了两类Legendre-Stirling数的关系式,然后证明了第二类Legendre-Stirling数的三个计算公式,并结合两类Legendre-Stirling数的关系式,推导出第一类Legendre-Stirling数的计算公式.
(2)将两类Legendre-Stirling数的概念进行推广,提出了两个新概念:第一类广义Legendre-Stirling数和第二类广义Legendre-Stirling数.文中给出了第一类和第二类广义Legendre-Stirling数的定义,运用生成函数等方法,分别研究了这两类广义Legendre-Stirling数的递推关系式及与之有关的一些性质,最后证明了这两类广义Legendre-Stirling数之间的关系式.
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