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算子理论与算子代数近几十年来的发展表明，对算子代数上保持某些同构不变量的映射的刻画和分类问题研究有助于加深人们对算子代数结构的了解([1]).这些不变量包括算子间的关系，算子的集合和函数等.由于零积关系是代数中广泛存在的基本重要的关系，对于保持算子零积关系的映射的刻画问题尤被人们关注，成为被广泛深入研究的课题之一.设o是算子的某种乘积.算子A，B间具有零积关系，即满足乘积AoB等于零.算子代数上的映射Φ满足AoB=0(→)（←→）Φ(A)oΦ(B)=0，则称映射Φ（双边）保零积.对于算子代数上保零积映射刻画问题的研究成果不仅揭示了算子代数的某些固有的结构性质，而且也被广泛的应用于其他研究领域.本文研究某些算子代数或算子集合上双边保零积非线性映射的刻画问题，及其在其他相关领域，特别是量子物理学中的应用.下面是本文的主要结果. 1.系统地讨论了几类算子集合上双边保零积的非线性映射的结构特征和刻画问题.设X，H分别是实或复数域F上的Banach空间或Hilbert空间，其维数均大于等于3.W，V(∈)B(X)或者B(H)，映射Φ:W→V满足AoB=0(←→)Φ(A)oΦ(B)=0对所有A，B∈W成立.我们分别在下列几种情形给出了上述映射在秩一算子上的形式:(1)W，V(∈)B(X)为包含秩一幂等元的算子集合，Φ是满射且AoB=AB;(2)W，V为H上包含秩一投影的自伴算子集合，Φ是满射且AoB=AB;(3)W，V(∈)B(H)为包含秩一投影的自伴算子集合，Φ是双射且AoB=AB+和A+B或者AoB=AB+A（设J∈B（H）是可逆自伴算子，A+=J-1A*J);(4)W=V=Cp(H)，Φ是实线性满射且取AoB=0为A*B=AB*=0;(5)W，V(∈)B(H)为包含秩一投影的正算子集合，Φ是双射且取AoB=ATB（这里T是任意给定的正可逆算子）. 2.利用上述对算子集合上双边保零积映射的刻画结果，我们给出了相应算子集合上保相应乘积数值半径或交叉范数映射的完全刻画. 3.利用算子集合上双边保正交性映射的刻画结果，我们得到了Schatten-p类算子空间上的保距映射和完全保距映射的刻画，以及套代数中Schatten-p类算子上保距映射的完全刻画. 4.利用包含秩一投影的正算子集合上双边保算子广义正交性映射的刻画结果，给出了量子力学基本定理之一Wigner定理的一类推广. 5.利用包含秩一投影的正算子集合上双边保算子正交性映射的刻画结果，给出了Hilbert空间效应代数上—般的序列同构的刻画.设H是复Hilbert空间，dimH≥2，令运算*是Hilbert空间效应代数ε（H）上的任一序列乘积，双射Φ:ε（H）→ε（H）是序列同构，即满足Φ(A*B)=Φ(A)*Φ(B)对所有A，B∈ε(H)都成立，则存在酉或反酉算子U使得Φ(A)=UAU*对所有A∈ε（H）都成立.