【摘 要】
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大规模科学与工程计算中的许多问题,如流体动力学、最优控制问题、弹性力学等,经过数学建模都可抽象为偏微分方程的求解问题.由于这些问题的解析解通常很难求得,数值求解就成为了比较常用的方法,也是处理现代科学与工程领域中诸多复杂问题的重要工具.通过恰当的数值离散,这些问题最终均可转化为线性代数方程组的求解.这类线性系统一般具有某种特殊结构,如2×2块或3×3块结构,且一般具有大型、稀疏、病态等特性.如何根
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大规模科学与工程计算中的许多问题,如流体动力学、最优控制问题、弹性力学等,经过数学建模都可抽象为偏微分方程的求解问题.由于这些问题的解析解通常很难求得,数值求解就成为了比较常用的方法,也是处理现代科学与工程领域中诸多复杂问题的重要工具.通过恰当的数值离散,这些问题最终均可转化为线性代数方程组的求解.这类线性系统一般具有某种特殊结构,如2×2块或3×3块结构,且一般具有大型、稀疏、病态等特性.如何根据具体物理背景和线性系统的特殊结构设计出高效、稳健、实用的数值解法既是现代科学与工程计算的核心,又是当前数值计算工作者研究的热点问题之一.本文主要关注浮力驱动流问题中结构线性系统的快速迭代解法.基于线性系统的结构特点,采用预处理技术设计经济快速的迭代解法.全文共有四章内容:第一章详细介绍研究问题的背景、意义及研究现状,并简要介绍本文的主要研究内容和组织结构.第二章主要考虑由非稳态Rayleigh-Bénard对流方程描述的浮力驱动流问题的快速数值解法.本章主要分为两部分内容:（i）针对利用Newton线性化方案和有限元方法离散得到的3×3分块结构线性系统的数值求解,设计一类高效的块分裂预处理子.给出预处理子的算法复杂性,并讨论相应预处理系统的谱分布情况.这类预处理子不涉及显式Schur补矩阵运算,在实际计算过程中仅需求解两个正定的子线性系统,可大幅提升计算效率.（ii）针对利用Picard线性化方案和有限元方法离散非稳态Rayleigh-Bénard对流问题得到的结构线性系统,利用系数矩阵中子矩阵块的正定性质,以矩阵分裂为依托,提出一类非对称形式的矩阵分裂迭代方法及相应的矩阵分裂预处理子.给出预处理子的算法实现过程,表明所提出的预处理子具有一定的计算优势.此外,还利用离散矩阵的性质分析所提出的迭代方法的收敛性.第三章通过数值例子说明本文提出的新预处理子的数值效果.主要从迭代步数、计算时间等角度说明新方法在加速Krylov子空间方法时的有效性.第四章对全文做简要总结.
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