方程的解的几何性质是椭圆型偏微分方程中的基本问题之一,而凸性作为几何对象的一个重要特征,长期以来都是椭圆型偏微分方程中重要的研究主题Saint-Venant扭转问题是材料力学和弹性力学中常见的问题,而解决Saint-Venant扭转问题的关键就是求解它的应力函数所满足的偏微分方程Saint-Venant扭转问题应用的范围很广,小到螺丝钉和金属丝的扭转,大到工程构件和桥梁建筑的扭转,都和人们的日常生活密切相关.因此,研究Saint-Venant扭转问题有着重要的意义及必要性.而本文所研究的对象就是与Saint-Venant扭转问题有关的一个方程.水平集的凸性是一个非常精细的问题,本文对方程△u=2的解的水平集的凸性作了一系列的研究.首先说明方程△u=2的解的水平集是凸的,然后利用常秩定理说明方程△u=2的解的水平集是严格凸的,从而对方程△u=2的解的水平集做一个定量估计.最后一部分是本文最核心的部分,主要说明是凹的.本文主要的定理表述如下：定理1.1.设Ω是R2中一有界的光滑区域且u是椭圆偏微分方程△u=2在Ω中的一个解.另设在区域Ω上有、▽u、≠0,并且u的水平集沿外法向▽u严格凸.进一步可设K是u的水平集的曲率.那么函数、▽u、5K在(?)Ω上达到极小值.定理1.2.设Ω是R2中有界的光滑区域为方程在Ω中的一个解.假设在Ω上有|▽u|≠0,令且u的水平集是严格凸的,对于函数有