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在群与图的研究中，图的对称性一直是一个重要的研究课题.它主要通过图的自同构群具有某些传递性来描述.Cayley图因为它构造的简单性，高度的对称性和品种的多样性成为对称图的一类典型的代表.关于Cayley图的对称性的研究，关键取决于对它的全自同构群理解的深度.而Cayley图的正规性恰好是这方面的一个基本的问题. 为此，本文的第三章研究了Cayley图的正规性.首先它给出了Cayley图非正规的三个充分条件，作为应用，它还给出了四个非正规Cayley图的无限族并且给出了A5的6度非正规Cayley图的一个完全分类.这也是对A5的3度，4度和5度非正规Cayley图的分类的一个推广. 如果图Γ的图自同构群Aut(Γ)作用在它的弧集上正则.则我们称这个图Γ是1-正则图，在具有较高对称性的图中，1-正则图也是群与图的主要的研究对象之一.而目前的研究主要集中在相关图形的构造中，给出此类图形的分类是一件非常吸引人的工作.本文第四章给出了具有点稳定子群为Z4×Z2的8度1-正则Cayley图的一个完全分类.