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近年来，利用调和分析的工具方法对各类Hardy型不等式的研究引起了国内外数学界的极大关注.Hardy不等式在数学的很多分支以及物理中都有重要的应用，为了数学学科本身的发展以及解决物理等其它学科相关问题的需要，有必要对Hardy不等式进行各方面的研究和推广. 本文的总体研究目标是根据所掌握的最新资料和国际动向，利用和发展积累起来的调和分析和偏微分方程的研究方法和技巧，系统和深入地研究Hardy不等式，Rellich不等式的理论和方法，力争在本项目的研究领域内获得丰富的应用成果.本文的主要研究内容为: (1) Kombe和(O)zaydin2009年得到了黎曼流形上的一些Hardy不等式，特别在双曲空间中得到了带余项的最佳L2-Hardy不等式.本论文采取了一种更直接且简单的方法证明了一类黎曼流形上的带余项的Lp-Hardy-Rellich型不等式，并且在几种情形下得到最佳常数. (2) Avkhadiev和Laptev2010年得到了一类Rn中非凸区域上的带余项的Hardy不等式.本文第三章将这些结果推广到Heisenberg群上，得到相应的Hardy不等式. (3) Lewis等2012年研究了平均凸区域上的Hardy不等式，并且把Hardy不等式的常数用平均曲率刻画.本论文第三部分在此研究的基础上进一步得到了加权的Hardy不等式，并利用该加权Hardy不等式，得到了平均凸区域上的一类L2-Rellich不等式. 本文采取了一些新的方法来得到所要的结果，尤其是在非凸区域上和平均凸区域上的研究，目前国内外的研究还不是很丰富，这将对今后本人在Hardy不等式领域内不断系统深入的研究具有重要的意义.