定义　　 为一般的L-函数,其中s=σ+it是一复变量.在解析数论中,一个重要的问题是估计积分和式其中σ≥1/2,κ是任一固定正实数.对于一般的高阶的L-函数,在中心线σ=1/2上或附近得到一个渐进估计是非常难的.特别地,关于黎曼zeta-函数ζ(s)的积分和式(0.1)的研究有一个很长的历史,详见Ivic[11]和Titchmarsh[41].　　 令π为一定义在GLm(AQ)上具有单中心特征的不可约尖自守酉表示.定义关于π的标准自守L-函数为详见Godement和Jacquet[7].　　 关于标准自守L-函数,我们证明了其积分中值在小区间上的一个下界估计.我们主要定理之一如下所述.　　 定理2.1令π为一定义在GLm(AQ)上具有单中心特征的不可约尖自守酉表示.κ为任一固定正实数.则对σ一致地有其中Т≥То,То充分大,σ≥1/2,Т≥Н≥log1+∈Т,以及任意小∈>0.　　 注记:对于黎曼zeta-函数ζ(s)的Lindelof猜想,其等价于,对任意的正整数κ,任意的σ>1/2,当Т→∞时有该等价关系能够一般地推广到自守L-函数L(s,π)上.因此,当σ>1/2时,在定理2.1中我们得到了最好的可能的下界估计.　　 令f(z)为定义在全模群SL2(Z)上的一权为κ全纯的尖形式.令L(s,f)为关于f(z)的自守L-函数和x为一模为q的Dirichlet特征.当σ>1时,自守L-函数L(s,f()x)定义为对于任意的正实数,我们定义对于Dirichlet L-函数L(s,x),Heath-Brown[10]考察了和式的上界估计此结果基于积分中值的凸定理和Heath-Brown在文[9]中的工作.根据Heath-Brown[10]方法,我们得到了关于自守L-函数下面的结果.　　 定理3.1假设L(s,f()x)的广义黎曼猜想.当01时,我们有其中关于απ×(π)(n)的定义,详见§4.2.和式的渐进估计,我们称其为Rankin-Selberg L-函数L(s,π×(π))的素数定理.　　 对于经典全纯的尖形式π和π相应的Rankin-Selberg L-函数L(s,π×(π))的素数定理已经有很多作者研究.最近,刘和叶[24]得到了一个新型的Perron公式.利用此公式,不用假设广义Ramailujan猜想,其无条件地证明了定义在Q上的Rankin-Selberg L-函数的素数定理.基于文[24]的方法,我们得到了定义在一般数域上E上的Rankin-Selberg L-函数的素数定理.　　 定理4.1令数域E为Q的()次Galois扩张.令π和π分别为定义在GLm(AE)和GLm(AE)上的不可约尖自守酉表示.假设π和π至少有一个是自逆步表示.则令数域E为Q的()次Galois循环扩张.令π为定义在GLm(AE)上的不可约尖自守酉表示.假设π在群Gal(E/Q)作用下是稳定的.基于Arthur和Clozel[1]的工作,π是()个不等价的定义在GLm(AQ)上的尖自守表示的基变换提升,其中,根据类域论,ηE/Q是定义在AQ*/Q*上非平凡特征.由Langlands文[19],我们得到π是πQ,πQ()ηE/Q,...,πQ()η()-1E/Q的isobaric和,即,类似地,令数域F为Q的q次Galois循环扩张.令π为定义在GLm(AF)上的不可约尖自守酉表示.假设π在群Gal(F/Q)作用下是稳定的.我们也有isobaric和,其中πQ是定义在GLm(AQ)上的尖自守表示,ψF/Q是定义在AQ*/Q*上的非平凡特征.由此,我们定义在数域E和F的Rankin-Selberg L-函数其中L(s,π()ηi×π()ψj),0≤i≤()-1,0≤j≤q-1是通常定义在Q的Rankin-Selberg L-函数.那么,当σ>1时,我们有其中对于和式的渐进估计,我们称其为关于数域E和F上的Rankin-Selberg L-函数L(s,π×BCπ)的素数定理.