自然科学、工程技术以及社会科学的许多领域中（如物理学、生态学、经济学等）都提出了大量的非线性问题，这些问题大都可以归结为非线性微分方程或非线性积分方程等，由此可以抽象出非线性算子方程进行研究。因此，利用非线性分析这一有力的工具来研究非线性算子方程的解，无论在理论上还是在实际应用中都有着非常重要的意义。本文可分为三部分。第一部分为第一章，主要利用非线性泛函分析中的锥理论、拓扑度理论以及不动点指数理论讨论了一类非线性算子方程的多解问题，统一了非线性分析中著名的Amann三解定理与Leggett-Williams三解定理。同时，将所获结果应用到一类四阶微分方程边值问题上，得到了一些新的结论。第二部分为第二、三章。在这两章中，我们利用拓扑度理论与锥理论分别从核函数与非线性项这两个不同的角度考察非线性Hammerstein积分方程，去掉了以往的一些限制条件，得到了一些新的结论。第三部分为第四章，属于非线性分析方法在微分方程中的具体应用。我们将微分方程化为积分方程，然后利用锥理论与不动点指数理论，解决了一类奇异Sturm-Liouville边值问题正解的存在性问题，推广了一些已有的结果。 下面加以具体阐述。 首先我们约定，在下文中，E是实Banach空间，P是E中的锥。 在第一章中，我们利用锥理论与不动点指数理论统一了著名的Amann三解定理与Leggett-Williams三解定理。主要结论是： 设D是E中的非空有界闭凸集，α，β是D上的非负连续泛函，且α是凹泛函，β是凸泛函。设0＜d≤a，记U1={x∈D：β（x）＜d)，U2={x∈D：α（x）＞a)。 定理1．2．1设A：D→D全连续。U1，U2≠φ，（?）∩（?）=φ而且 （ⅰ）存在z1∈U1满足：若存在x∈（?）U1，t≥1使得Ax=z1+t（x-z1），则β（Ax）＜d； （ⅱ）存在z2∈U2满足：若存在x∈（?）U2，t≥1使得Ax=z2+t（x-z2），则α（Ax）＞a，其中（?）Ui表示Ui相对于D的边界，i=1，2。则A在D中至少有三个不动点x1，x2，x3，满足β（x1）＜d，a＜α（x2），d＜β（x3）且α（x3）＜a。 我们将会看到，Amann三解定理与Leggett-Williams三解定理，以及五泛函不动点定理都是定理1．2．1在特殊情形下的推论，因此我们在本质上推广了这些定理。 在第二章，我们讨论了一类带有变号核的非线性Hammerstein积分方程的特征值与特征元。设G是Rn中的有界闭区域，核函数七定义在G×G上且不一定2 摘 要是非负函数，Cp)表示G上的连续函数构成的空间，L’p)表示G上的P方可积函数构成的空间．主要结论如下： 定理2·2．互设（I）正在GXG上连续，且存在函数人E＊叮qb＞一使得人N则从不N血＞o，W〔a（河j在GxR上连续，Jk0）。0，几（。，叫存在且当M充分小时几（。，。）连续；（山 f有下界，11m卜卜十。八x，。川。D＝＋OO对O〔Gl＝GVOEG：呵。）一时一致成立．则 ＊）任给A一0，A一入。，n＝1，2，…，人是A的特征值，其中＊。)是线性积分算子K：C（G）M C（G）的全体特征值构成的数列，KI的定义如下； K1叫x)＝J《x，利几（9，0）pM咖 （n）tim卜卜十。加川一一I－co，其中 W。是 A关于特征值人的特征向量； （训对任何A一o，入一人；。＝1人…，存在。＝a（v＞0，R一只对＞o使得对任何4Eqa满足0＜帅【D＜a，方程抑（。）＝＊叨x）十队x）至少有两个连续解pl，Wb满足 W色 e 0可收 包DD＜ R＠ i＝ 1，2． 定理2．2．1是【32］中定理2的推广，我们用弱一些的条件“h E＊。（q（P＞1）”代替了‘松x）s a bounded measurable fulction”，从而扩展了定理的应用范围． 在第三章，我们仍考虑非线性Hanunerstein积分方程．与第二章不同的是，我们假定核函数k是非负的，而针对非线性项f进行讨论．首先，我们利用锥理论与拓扑度理论研究了一类非锥映射的拓扑度，然后将所获结果应用到非线性Hammerstein积分方程上，得到了新的结论．设E一户二户，B：EME是全连续正线性算子．设，旧)是B的话半径，B·是B的共轭算子，P”是P的共轭楔，根据Krein－Rutman定理，如果r旧)／0；则存在7ePVg)，g”eP八p｝，使得 B7＝，（B）7，B”g”＝，旧)g”．（3．2，l）取 ＞”e P’＼｛0｝使得上式成立，取 5＞0，令 P（g”，的叫pEP：g”（叫三外训），显然r（g”／）是E中的锥．主要结论如下： 定理3．2．互设以下条件成立： （HI）存在 g”〔P八伊），v E PVO)；6＞0；使得限2＠1)成立且 B：P＋P(g＊，旬； （HZ）TI；TZ：E －＋ P是连续算子，且存在 2，尸 E(0，IL M；，MZ＞0，使得＊ 叫卜r＊官Ila，tITZwlS MZ否 合，Vp e E； 摘 要3 （H3）F：E—E是有界连续算子，且存在。。E E使得F中十。。十场pE P，咖E P； （民）存在4EE，D＞0，使得 ＊蜘＞，旧厂‘(1＋…枷一B乃p一＊np一队 WEE． ?