随着科技的发展，在数学、物理学、化学、生物学、医学、经济学、工程学、控制理论等许多科学领域中出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线性问题的过程中，逐渐形成了现代分析学中一个非常重要的分支——非线性泛函分析.它主要包括半序方法、拓扑度理论、锥理论和变分方法等内容，为当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具，尤其足在处理应用学科中提出的各种非线性微分方程问题中发挥着不可替代的作用.1912年L.E.J.Brouwer对有限维空间建立了拓扑度的概念，1934年J.Leray和J.Schauder将这一概念推广到Banach空间的全连续场，后来E.H.Rothe，M.A.Krasnoselskii，H.Amann，K.Deimling，M.S.Berger等对拓扑度理论、锥理论及其应用进行了深入的研究，国内张恭庆教授、郭大钧教授、陈文源教授、孙经先教授等在非线性泛函分析的许多领域都取得了非常出色的成就. 本文主要利用非线性泛函分析的拓扑度理论、锥理论、上下解方法等研究了含有p-Laplacian算子的非线性常微分方程边值问题和二阶微分系统中的奇异Sturm-Liouville边值问题的正解的存在性等问题.主要内容如下： 第一章列出了后面几章用到的有关定义及不动点定理，这些内容在后面的主要结果的证明中是至关重要的. 第二章考察了下面含有一维p-Laplacian算子的非线性两点边值问题的可解性.通过应用Leray-Schauder不动点定理，得到了这类边值问题的解的几个存在性定理.主要结果表明：如果非线性项在其定义域的某个有界子集上的“高度”是适当的，那么该问题必存在解或正解.用这种方法类似地可以讨论边值问题第三章研究了下面含有P-Laplacian算子的非线性四点边值问题，通过构造一个全连续算子并结合范数形式的锥拉仲与压缩不动点定理得到了正解存在的几个充分条件. 第四章主要讨论了下面的含有p-Laplacian算子的非线性奇异四点边值问题通过应用范数形式的锥拉伸与压缩不动点定理，我们获得了几个正解的存在性定理. 第五章考察了二阶微分系统中的奇异Sturm-Liouville边值问题正解的存在性，通过使用上下解方法，我们得到了C[0，1]×C[0，1]和C1[0，1]×C1[0，1]正解存在的充分必要条件.我们的非线性项fi(t，x1，x2)在x1=0，X2=0，t=0或t=1，i=1，2处可能是奇异的.