【摘 要】
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Caputo分数阶导数的逼近可看作是带弱奇异核的积分的数值求积问题.为了提高计算精度,本文基于L1-2方法的思想利用更高阶的拉格朗日插值多项式逼近被积函数中的f(t),从而获得
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Caputo分数阶导数的逼近可看作是带弱奇异核的积分的数值求积问题.为了提高计算精度,本文基于L1-2方法的思想利用更高阶的拉格朗日插值多项式逼近被积函数中的f(t),从而获得了一种更高精度的逼近方法,我们称之为L1-3方法.本文主要做了以下三方面工作:首先,我们构造一种新的数值微分方法来逼近α阶(0<α<1)Caputo分数阶导数.这一工作的主要思路是:在每个小区间[tj-1,tj](j≥3)上通过利用(tj-3,f(tj-3)),(tj-2,f(tj-2)),(tj-1,f(tj-1)),(tj,f(tj))这四个点构造三次拉格朗日插值多项式来逼近f(t).相应地,在[t0,t1]上,利用(t0,f(t0)),(t1,f(t1))这两个点构造线性插值多项式来逼近f(t);而在[t1,t2]上,则利用(t0,f(t0)),(t1,f(t1)),(t2,f(t2))这三个点构造二次拉格朗日插值多项式来逼近f(t).正如L1-2方法可以看作是对L1方法的改进,我们构造的这种新方法则可看作是L1-2方法的一种改进.因此,我们将其称为L1-3方法.其次,我们详细地讨论了新方法的截断误差以及新方法中系数的性质,结果表明L1-3方法有更高的精度.具体来说,前人推导的L1方法的精度是2-α阶,L1-2方法的精度达到了3-α阶,而这种新的逼近方法的精度则可以达到4-α阶.最后,将这种新的逼近方法分别应用到时间分数阶常微分方程和分数阶子扩散方程的数值求解,并与L1和L1-2这两种方法进行比较,结果表明相同步长时新方法的误差更小,收敛阶与理论分析结果相吻合.
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