本文分别针对两类带有开弧段的微分方程外问题-斜微商问题和弧的散射问题,提出两种不同的数值方法.Ⅰ.开弧外斜微商问题的基于Chebyshev多项式的方法首先我们考虑二维平面内模拟霍尔效应的开弧外斜微商问题.用一个简单开弧Γ∈C2,λ来模拟二维平面上的电极,其中λ∈(0,1].令用z1：=y（1）,z-1：=y（-1）来表示r的两个端点.我们用Γ+来表示当s增长时,Γ的左手一侧,那么用Γ来表示Γ的另一侧.用n表示指向Γ的法向量.Γ的切方向τ定义为s增长时Γ的方向.显然,其中那么开弧外斜导算子问题为：其中β是一个实的常数.考虑角位势：积分核V（x,σ）由下面的公式定义,其中可以看出,V（x,σ）是向量y（σ）x与x轴的夹角,且V（x,σ）是一个关于x的多值调和函数.下面我们对其添加一个附加条件,固定V（x,σ）的某个分支,使其变成一个单值函数：对它进行分部积分,v[μ]（x）会变成如下形式的双层位势：其中且rσ：={y=y（s）=（y1（s）,y2（s））,s∈[-1,σ]}.然后利用角位势和单层位势的线性组合来构造问题（1）的解.其中C表示任意常数,v是角位势,w是单层位势如果（6）中的μ（σ）有类似的形式,其中μ是一个连续函数,解u[μ]（x）在r的端点处有奇性：存在（?）∈(-1,0],使得这里d=±1.我们把（6）带入到问题（1）的边界条件中,得到一个积分方程组（见[72]）,其中φ0（x,y）是向量xy与法向量ny之间的夹角.如果（6）中的μ满足（8）和（9）,它就是问题（1）的解.为了证明（8）和（9）的解的存在唯一性,定义两个边界积分算子：它们的定义如下其中V={μ∈H-1/2（Γ）：fΓμds=0}.可以看出ToI是角位势法向导数在Γ上的极限.命题0.1[1]在（9）的条件下,由此重新表示（8）和（9）,得：命题0.2I是一个有界可逆算子.定理0.3对于任何的f∈H-1/2（Γ）,（11）有唯一的解μ∈H-1/2（Γ）用Tn（σ）和Un（σ）分别表示第一类和第二类Chebyshev多项式.构造有限维空间：接下来的两个命题将讨论QN和PN在Sobolev空间范数下的逼近性质.命题0.41.PN是H1/2[-1,1]空间中的一个闭子空间.2.P∞=UNPN在H1/2[-1,1]中稠密.命题0.5[52]1.QN是H-1/2[-1,1]空间中的一个闭子空间.2.Q∞=（?）QN在H-1/2[-1,1]中稠密.考虑用φN这种第一类Chebyshev多项式的线性组合来近似μ问题（11）的离散化问题为：找到一个φN∈QN且满足f-11φN（σ）|y（σ）|dσ=0,使得其中<·,·>表示H1/2（Γ）和H-1/2（Γ）的偶对.定理0.6变分问题（12）有唯一解,且满足估计：利用Chebyshev多项式的一些特殊性质,离散的变分问题的计算可以适当简化.变分问题可以重新表述为：寻找cn,n=1,…,N,使得由[72],那么（13）变为如果|y（s）|≠常数,则M=N-2.（14）可以用第一类Guass-Chebyshev求积公式计算得到,利用第一类Guass-Chebyshev求积公式和Chebyshev多项式的一些特殊性质,（15）中的第一个积分如果|y（s）|=B,B为常数,则M=N-1.由QN的定义,我们有如果用I表示（15）中的第一项产生的刚度矩阵,那么在第二种情况下,I是一个对角矩阵.下面考虑（15）中的第二项的计算.第二项产生的刚度矩阵用A={aij}（M+1）×N表示,A中的元素因此,（15）的刚度矩阵是I+A.（15）中的第三项的近似计算公式最后,我们就会得到一个关于{c1,c2,…,cN}的线性代数方程组,进而求出这些系数.然后,重构单层位势w[μ]和角位势v[μ]（x）：这样我们就可以计算出近似的电位势u,虽然角位势可以在一定条件下被表示成一个双层位势,但是这种表示方式和角位势的定义相比距Γ较近时有更强的奇性.所以重构角位势时,我们选择从定义的角度做离散.为了验证我们的方法的有效性,本文还列举了一些特殊情况下的数值算例,通过计算结果和精确解还有[73]中的方法得到的结果作比较来验证方法的准确性和可行性.Ⅱ.开弧外散射问题的一种数值方法给定一个开弧Γ （?）R2,弧的两个端点为P,Q.用Γ+表示弧的一侧,Γ表示弧的另一侧.n+表示指向Γ的法向量,它的反方向用n+表示.给定入射平面波ui（x）=ui（r,θ）=eikx·d,其中波数k∈R+,入射方向为d,声硬弧散射问题就是求总波场v（x）=ui（x）+us（x）满足在R2\Γ内,（22）在Γ±上,（23）当r=|x|→∞.（24）在（23）中,由于ui是一个整函数解,那么us满足下面的方程：在R2\Γ内,（26）在Γ±上,（27）对于ρ>0,定义和R0是一个实数且满足Γ在BR0。内的部分可以近似的看成是一条直线段,其中i=P,Q且R0<π/3k.令R<min（1,R0）.以Γ的每个端点i为极点作极坐标系（ri,θi）,使得θi=0与BR0i。中的Γ重合.命题0.7{cosn/2θ}n=0∞是L2（0,2π）的正交基.由分离变量法出发,BR0i\Γ中的总场v（x）有如下表达式：其中Jγ（z）是γ阶的第一类Bessel函数.命题0.8如果γ>0,R0<π/3k,0<r<R0,其中M是一个不依赖γ的常数.命题0.9如果an,bn≥0,则命题0.10在命题0.8的条件下,如果r<R0,其中K是一个与n无关的常数.定理0.11如果u是问题（22）-（24）的解,则当（ri,θi）∈BR0,i=P,Q时,令在命题0.8的条件下,我们可以得到v≥1,C是一个不依赖v的常数,κ是一个仅依赖于R和R0的正的常数.把Γ用一个圆BR={x∈R2：|x|<R}包裹起来.定义ΩR=BR\Γ.我们在区域ΩR的外面加上一个PML层ΩPML={x∈R2：R<|x|<ρ}.令用α（r）=1+iσ（r）表示模拟介质的性质,它满足用r表示复极径,Ωρ=Bρ\Γ中PML问题的解u就是下面方程组的解在Ωρ内,在Γ±上,（36）u=0,在Γρ上,其中A=A（x）是一个矩阵,在极坐标下满足,问题（36）是问题（26）-（28）的近似.a：H1（Ωρ）×H1(（Ωρ）→C满足则（36）的变分问题是：找到u∈HE1（Ωρ）满足其中表示L2（Γ）的内积.下面我们作出如下假设：其中σ0>0,m>1.令令u=u+ui.问题（36）等价于下面的方程组在Ωρ内,（40）在Γ±上,（41）u=ui,在Γρ上,（42）其中很容易可以看出在BR中f=0.令U=u-uiΦ,其中Φ∈C∞（Ωρ）满足Φ=1,在Γρ上,Φ=0,在BR内.则U是下面方程组的解,在Ωρ内,（43）（?）U/（?）n±=0,在Γ±上,（44）U=0,在Γρ上,（45）其中很显然,ΩR中g=0.（43）-（45）的变分问题是找到U∈HE1（Ωρ）,使得我们引入两个算子M：HE1（Ωρ）→H1（Ωρ）和N：HE1（Ωρ）→H1（Ωρ）：其中u,v∈HE1（Ωρ）.则问题（43）-（45）等价于找到U∈HE1（Ωρ）使得因为U=u-uiΦ,则u满足其中F是H1（Ωρ）中的一个函数.命题0.12除去可数多个k之外,问题（40）-（42）在u∈H1（Ωρ）中有唯一的解.令是H1（Ωρe）中SRj的迹算子.定义其中因此,V（?）H1（Ωρ）,而且||u||v=||u||1,Ωρ.那么,显然u|Ωρe可以唯一决定u∈V定理0.131V是H1（Ωρ）的一个闭子空间.定义对（49）的左右两边都乘以Π,则除了可数多个k,（49）和（50）有相同的解.令Fh={Kih}表示区域Ωρe的正规三角剖分,其中h=maxdiam{Kih}.如果Kih∩（BRP∪BRQ）=（?）,则Kih是三角形.如果是曲边三角形,其中曲边是SRQ或SRP的一部分.令Gih是一个足够光滑的一对一映射,它把Kih映为一个标准三角形定义其中的函数u满足u|KihO（Gih）-1是一个次数≤p的多项式.网格Fh在SRi上产生了两部分网格：在SRi上其中i=只Q.定义为FRh,i上的节点.由此可以产生两个（0,2π）上关于θ的剖分定义Xp△θ,i（0,2π）（?）H1（0,2π）,其中的函数u满足u|K△θ,i是一个关于θ的次数≤p的多项式.我们定义一个插值算子Πθi满足Πθi（u|SRi）∈Xp△θ,i（0,2π）.对于v∈Hv（0,2π）,有其中v>1,0≤t≤1,p≥1.令其中i=P或Q.此外定义定义其中Nρ,jh是Γρ上Fh的节点.定义问题（40）-（42）的离散变分问题是：找到满足可以看出XH,Rh,p在V中是终归稠密的.除去可数多个k外,（55）有唯一的解.定理0.14u∈H1（Ωρ）是问题（40）-（42）的解,则如果我们有定理0.15除去可数多个k,（55）有唯一的解uh,N,R.如果N,p足够大,在定理0.14的条件下,本方法可以平行推广到声软问题中,即Neumann边界条件的情况.