【摘 要】
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设Ω是Rn的具有光滑边界的有界开区域.本文在Ω上考虑了具有非线性记忆项的阻尼波动方程
Utt+αu1-△u-∫10μ(t-s)｜u(s)｜βu(s)ds+g(u)=f,(x,t)∈Ω×R+；
u(x,t)=0,(
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设Ω是Rn的具有光滑边界的有界开区域.本文在Ω上考虑了具有非线性记忆项的阻尼波动方程
Utt+αu1-△u-∫10μ(t-s)｜u(s)｜βu(s)ds+g(u)=f,(x,t)∈Ω×R+；
u(x,t)=0,(x,t)∈Γ×R+； u(x,0)=u0(x),u1(x,0)=u1(x),x∈Ω.
其中α,β是正常数,g(u)是非线性项,∫10μ(t-s)｜u(s)｜βu(s)ds是非线性记忆项.针对具有线性记忆项(即∫10μ(t-s)△u(s)ds)的波动方程,许多学者已经进行了广泛而深入的研究.然而,记忆项为非线性的情况在自然界中普遍存在,Cavalcanti和Park在文献[13,14]中研究了此类问题,他们研究了具有非线性边界记忆源项和非线性边界阻尼的波动方程的解的存在性和一致衰减性.本文研究了在有界开区域Ω上具有非线性记忆项的阻尼波动方程的解的存在性和整体吸引子的存在性.首先,我们应用Faedo-Galerkin逼近方法在L∞(0,∞；H10(Ω))×L∞(0,∞；L2(∞))上证明了整体弱解和强解的存在性.其次,证明了整体解的唯一性和正则性.然后,我们在L2(Ω)×H10(Ω)上证明了吸引集的存在性.最后,把这个方程导出的半群s(t)在空间L2(Ω)×H10(Ω)上分解为两个半群S1(t)和S2(t),对于L2(Ω)×H10(Ω)中的任意有界集B,证明了S2(t)B的一致衰减性,利用把方程做微分的方法证明了S1(t)B在空间L2(Ω)×H10(Ω)中的渐近紧性.从而得到了整体吸引子的存在性.
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