拓扑绝缘体是凝聚态物理重要的科学前沿之一,可以用于设计自旋电子学及量子计算机中的低功耗器件。第一章绪论,回顾量子霍尔效应与拓扑绝缘体的发展史,然后介绍了研究拓扑绝缘体的两种主要理论:拓扑能带理论和拓扑场论。前者主要描述无相互作用系统,目前依然是发现新拓扑材料的重要工具;后者可以描述包含相互作用的系统。两种理论都是通过寻找拓扑不变量来阐述系统的拓扑性质。第二章以两带模型(two-band model)为基础,介绍一种新的规范理论以及由此产生的拓扑激发。该理论以哈密顿量和布洛赫波函数为基本场,从’t Hooft单极(monopole)理论出发,构造拓扑不变量,可诱导出单极和半子(meron)拓扑激发。第三章将纽结理论应用到两带模型的研究中,得到了与文献中相同的结果。然后在已有结果的基础上对纽结模型进行修改,得到了具有高拓扑数的两带模型,并给出了其紧束缚模型的哈密顿量。第四章是对本文的总结以及对进一步工作的展望。本文的第一个创新点是拓扑规范理论的引入。传统的拓扑场论是一种有效场论,其中的基本场由“统计规范势”来充当。从基本场出发直接构造作用量,给出的是系统大范围的拓扑性质。文中提出的拓扑规范理论则是以哈密顿量和布洛赫波函数为基本场,从’t Hooft单极模型出发,构造拓扑不变量。该理论关注于拓扑缺陷的微分结构,即拓扑缺陷处的拓扑激发。我们以两带模型为基础,辅以具体实例,详细介绍了这一理论。’t Hooft单极理论诱导出的单极和半子两种拓扑激发,发生于波函数的奇点处,分别对应于群空间中球S~2的中心和两极。拓扑激发的拓扑荷可给出系统的拓扑数。本文的第二个创新点是将纽结理论引入到两带模型的研究中。在文献中布里渊区被当作一个二维圆环面T~2来处理,有序对(k_x,k_y)代表T ~2上的一个点,拓扑数Pon-trjagin指标P是从布里渊区T ~2到球S~2的映射度。在这种处理方法下,拓扑数只能通过积分得到,不能够直观地得到结果,没有一个清晰的几何图像来解释P的几何意义。这使得设计具有更高拓扑数、更复杂能带结构的材料变得很困难。本文提出的纽结理论将(k_x,k_y)表示成了两个纽结上的点形成的矢量,用一个纽结模型直观地给出了P的几何意义。并且可以对已有模型提出理论上的修改,得到具有高拓扑数的模型。