【摘 要】
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我们知道,求解线性方程组Ax=b,通常有直接法与迭代法两类方法.线性方程组的直接法,用于阶数不太高的的线性方程组效果较好,如果没有舍入误差,通过有限步操作,可以产生完全精确的解.x.实际工作中有许多问题的求解最终可以归结为求解一个或一些大型稀疏矩阵的线性方程组问题的解,而迭代法是用来求解大型稀疏线性方程组问题的一种很重要的方法.本文主要研究了求解大型稀疏鞍点问题的PSD迭代法及求解一类特殊的非线性
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我们知道,求解线性方程组Ax=b,通常有直接法与迭代法两类方法.线性方程组的直接法,用于阶数不太高的的线性方程组效果较好,如果没有舍入误差,通过有限步操作,可以产生完全精确的解.x.实际工作中有许多问题的求解最终可以归结为求解一个或一些大型稀疏矩阵的线性方程组问题的解,而迭代法是用来求解大型稀疏线性方程组问题的一种很重要的方法.本文主要研究了求解大型稀疏鞍点问题的PSD迭代法及求解一类特殊的非线性方程组的N-PSD迭代法的收敛性问题.本文在第二章当中利用Euans提出的PSD迭代法来求解大型稀疏鞍点问题.大型稀疏鞍点问题的求解在很多领域中都出现过,如约束最优化、流体力学、最小二乘等问题当中,因此针对鞍点问题系数矩阵的特殊结构和特殊性质,去研究有效的迭代方法和相应的收敛理论,就有非常重要的理论意义和很高的应用价值.PSD方法是Euans于1980年提出的为解决大型线性方程组问题的一种迭代方法,后来有学者将之推广应用到最小二乘问题当中,本文就是在他们共同的启发下,考虑用PSD方法来解决鞍点问题.这种方法的建立是基于对方程组系数矩阵的分解、预处理因子Q的引入以及PSD迭代格式的运用,文中推导出了PSD方法的迭代矩阵SΓ,ω,α的特征值λ和矩阵J=Q’BTA’B的特征值μ之间所满足的基本关系式,并基于该基本式得到了PSD方法收敛的充要条件,随后又着重讨论了τ=1以及ω=1时,PSD方法收敛的充要条件,并在合理的假设下得到了PSD方法收敛的最优参数和最优谱半径.最后给出了数值例子对定理的正确性和有效性进行了验证.其次,本文在第三章当中讨论了求解一类特殊的非线性方程组问题的N-PSD方法的收敛性问题.牛顿法是求解非线性方程组问题的一种非常有效的方法.本文将牛顿方法和PSD方法结合起来形成了求解非线性方程组问题的双层迭代法N-PSD方法,并在合理的假设下得到了其收敛性定理.最后通过数值例子验证了其有效性和可行性.
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