【摘 要】
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基于非线性偏微分方程求解的迫切需要以及对称在偏微分方程中的应用,本课题针对一些比较有物理意义和现实背景的非线性偏微分方程(组),借助符号计算软件Maple,进行求解方程(
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基于非线性偏微分方程求解的迫切需要以及对称在偏微分方程中的应用,本课题针对一些比较有物理意义和现实背景的非线性偏微分方程(组),借助符号计算软件Maple,进行求解方程(组)对称、对称约化以及精确解等方面的研究.通过采用辅助函数法和齐次平衡法相结合的方法,本文得到了(3+1)维推广的KP方程、新(3+1)维推广的KP方程及变形的Boussinesq方程组的三角函数解、雅克比椭圆函数解以及有理函数解.与此同时,利用Maple软件得到变形的Boussinesq方程组的某些特殊情况下精确解的图像.为了得到关于自变量的其它变换形式,本文分别利用经典李群方法和推广的直接约化法研究了变形Boussinesq方程组、变系数Boussinesq-Burgers方程组、(3+1)维推广的KP方程以及新(3+1)维推广的KP方程的对称,并利用变形Boussinesq方程组的对称来约化原方程组.主要结果如下:第一章,主要介绍国内外有关非线性偏微分方程求解的研究现状、论文引入背景和有关基础理论知识.第二章,结合辅助函数法和齐次平衡法,将(3+1)维推广的KP方程以及新(3+1)维推广的KP方程转化为常微分方程,并运用Maple软件得到方程不同类型的精确解,其中包括三角函数解、雅克比椭圆函数解等;利用经典李群方法得到两个方程的对称及群不变解定理.第三章,结合辅助函数法和齐次平衡法,将变形Boussinesq方程组转化为常微分方程组,并运用Maple软件得到方程组不同类型的精确解,其中包括三角函数解、雅克比椭圆函数解和有理函数解等;利用推广的直接约化法,研究变形Boussinesq方程组,得到其对称和一维子代数的优化系统,利用其得到两个Painlev′e型约化方程.第四章,利用经典李群方法研究变系数Boussinesq-Burgers方程组的对称分类.第五章,总结全文内容并对下一步工作进行展望.
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