随着大型计算机的出现和计算机科学的迅速发展，特别值得一提的是计算机网络的出现和发展，大大地促进了图论的发展和繁荣，无论在数学、物理、化学、生物等基础学科，还是在交通运输、计算机科学、系统工程等应用领域，图论都显示出越来越重要的作用，因而研究图论问题及其解法具有重要的理论和实际意义． 本文主要讨论了作者感兴趣的两类问题：一类是关于4-连通平面图中圈的问题；一类是关于边染色问题． 全文的结构如下： 第一章主要介绍了图论的背景、历史和现状，同时给出了本文的主要研究成果、研究的目的及意义． 在第二章中，介绍了本文涉及到的一些定义、概念等预备知识． 在第三章中主要研究了4-连通平面图中圈的问题，通过对可收缩边的讨论，证明了4-连通平面图中含有长为n-7的圈．从而对已有的结果进行了进一步拓展，也朝着Malkevitch猜想的最终证明前进了一步． 在第四章中研究了有关边着色问题，给出了两类图的边的上界，进而给出了满足欧拉常数X(S)≥0的几类图成为第一类图的充分条件．