多变量数值积分是计算数学的一个主要研究课题，d维变量函数的数值积分已经引起了关注，并且在许多领域有了实际的应用，例如在统计，物理与工程领域。最近，对于很大的数值d（几百或几千）已经被应用在金融数学领域。对于路径积分，d=∞及其较准确的逼近要求d维函数的积分，其中d可以任意的大。另一方面，我们知道函数逼近或称函数恢复和函数的积分问题在多变量问题中是主要问题，并且逼近和积分的结果经常被用到其他多变量问题中。多变量数值积分与逼近的主要目的是估计各类d维多变量函数在确定的，平均的，概率的及随机情形下的第n个最小的误差。即所有可能获得的最好的算法，该算法至多只用n个信息泛函。它与复杂性及逼近问题的宽度有密切关系，比如考虑在确定情形下的第n个最小误差。设F和G是D（?）R^d上的实赋范线性空间，解算子S：F→G是连续的映射。我们想通过算法U=φoN来逼近算子S，其中映射N：F→Rⁿ称为信息算子，具有形式N（f）=（L₁（f），…，L_n（f）），f∈F其中φ：N（Z）→G。在上述情形中，我们重点考虑两类信息，即所有的连续线性泛函∧^all和所有的标准信息泛函∧^std，其中对于每个x∈D，标准信息泛函∧^std仅包含n个函数值f（x）。所以∧^all={L：L∈F^*)∧^Std={L_x：x∈D，（?）f∈F，L_x（f）=f（x）}我们现在来定义确定情形下的一个算法的误差，即e^wor（S，U）=sup（?） ||S（f）-U（f）||G其中第n个最小的误差定义为：e_n^wor（S，∧）=inf（?）{e^wor（S，U）：L₁，．．．，L_n∈A，card（U）≤n}其中∧=∧^all or∧^std是可以得到的泛函类，且card（U）表示信息泛函的个数，称作算法U的cardinality。近年来，已经有很多文章研究了在各种不同的情形下各种函数空间的多变量的数值积分与逼近的第n个最小误差。例如，Bakhvalov和Novak研究了在确定的和随机的情形下关于Hooler空间中多变量函数积分与逼近的第n个最小误差，并且得到了关于第n个最小误差的最优的渐近阶与最优的收敛速度。[1，2，3]研究了在确定的和随机的情形下关于Sobolev空间中多标量的数值积分与逼近问题的第n个最小误差。最近，已经有一些人开始对各向异性的函数空间感兴趣，这是因为其不仅在数学理论中有着重要作用，而且还在数学物理，生物统计及其它学科分支中有着重要应用。在第二章我们将给出各向异性的函数空间的定义，Temlyakov[4]研究了在确定的情形下各向异性的Sobolev与Nikolskii函数类中的周期函数的第n个最小误差，并且得到了其收敛速度的最优渐近阶。此论文共分为三章。第一章预备知识，本章主要阐述了信息计算复杂性理论的产生与发展，以及当今阶段的一些主要研究问题。同时简单介绍了信息计算复杂性的一些基本理论，并简略的叙述了在各种不同的框架下，在特定的函数空间里，在给定的信息类的前提下，给出了积分的第n个最小误差的估计问题。第二章主要概括了Traub，Wozniakowski，Wasilkowski，Heinrich，Novak，房艮孙，黄仿伦等人的主要研究结果，给出了在若干函数空间中积分问题的复杂性估计。本章在前人的工作基础上，重点研究了对于各向异性的Besov空间中，加权积分的误差分析有下列结果：e_n^wor（I_p）（?）n^-g（r） 1≤p≤∞。e_n^ran（I_p）（?）n^{-g（r）-1／2} 2≤p≤∞。e_n^ran（I_p）（?）n⁽-g（r）-（1-1／p） 1≤p＜2。e_n^avg（I_p）（?）n^{-g（r）-1／2} 2≤p≤∞。e_n^avg（I_p）（?）n^{-g（r）-（1-1／p） 1≤p＜2。第三章本章给出了古典的Holder，Sobolev，Nikolskii函数空间的定义及其范数的表示，简略地概述了在上述三种空间中积分的误差界问题，我们主要运用积分误差分析方法，重点讨论了在确定的，平均与随机情形下的积分的误差分析结果：在Holder函数空间中，有e_nwor（I）（?）n（-r+a）／d。e_nran（I）（?）n-（r+a）／d-（1／2）}．e_2n^avg（I）（?）n⁽-（r+a）／d-（1／2）。在Sobolev函数空间中，有e_n^wor（I，∧）（?）n^-r／d 1≤p＜∞。e_n^ran（I，∧）（?）n^{-（r／d）-（1／2）} 2≤p＜∞。e_n^ran（I，∧）（?）n⁽-（r／d）-（1-1／p） 1≤p＜2。