【摘 要】
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绝大部分偏微分方程数值求解问题都可以归结为大型稀疏线性方程组的求解问题,因此设计求解大型稀疏线性方程组的高效算法就成为一个重要课题.求解线性方程组的方法分为直接法
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绝大部分偏微分方程数值求解问题都可以归结为大型稀疏线性方程组的求解问题,因此设计求解大型稀疏线性方程组的高效算法就成为一个重要课题.求解线性方程组的方法分为直接法和迭代法,当系数矩阵为大规模稀疏矩阵时,常使用迭代法.Krylov子空间方法是求解大型稀疏线性方程组的主流迭代法之一.随着求解问题规模的增加和并行计算机的发展,采用并行算法求解线性方程组就显得势在必行.而在分布式并行计算环境下,内积计算导致的全局通信成为Krylov子空间方法高效并行计算求解的瓶颈.针对内积计算导致的全局通信问题,本文研究了平滑共轭残差平方法(SCRS)和预处理共轭残差平方法(PCRS2),其中SCRS算法是通过为共轭残差平方法(CRS)添加一个平滑算子得到的,PCRS2算法是通过对CRS算法附加一个预条件子得到的.在SCRS和PCRS2的基础上,通过改变算法的计算次序,重构算法,提出了改进的适合于分布式并行计算环境的LCSCRS与LCPCRS2算法.在LCSCRS中,我们把三个全局通信点减少为一个;而在LCPCRS2中,将全局通信次数从两次减少为一次.并且每次迭代所需要的内积都是独立的,内积所需要的通信时间能与计算有效重叠.以增加微小的计算量为代价,提高了计算效率.对LCSCRS与SCRS算法,LCPCRS2与PCRS2算法的性能进行了理论分析,包括并行时间、加速比、可扩展性以及并行性能改进比率.结果说明了 LCSCRS算法和LCPCRS2算法分别比SCRS算法和PCRS2算法有更少的并行时间与更好的可扩展性.其中LCSCRS算法的加速比能达到SCRS算法的3倍,并行性能改进比率达到了 66.7%;LCPCRS2算法的加速比能达到PCRS2算法的2倍,并行性能改进比率达到了50%.通过数值实验将PCRS2算法与CRS、共轭梯度平方法(CGS)和双正交共轭梯度稳定法(BiCGSTAB)的计算时间和收敛行为进行了比较,实验结果显示PCRS2有着比CRS、CGS和BiCGSTAB算法更少的计算时间和更为平滑的收敛效果.并行数值实验结果显示LCSCRS与LCPCRS2分别有着比SCRS方法与PCRS2算法更好的加速比和可扩展性,验证了理论分析的结果.
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