【摘 要】
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令G=(V(G),E(G))是n个点,m条边的简单图,σ:E(G)→{+1,-1}是定义在边集E(G)上的符号映射,则称Γ=(G,σ)为G的一个符号图,其中G是符号图Γ的基础图,σ是它的符号函数.本文主要利用组合与代数方法研究符号图的各种多项式.首先,本文提出了一个全新的图多项式――平均Laplacian多项式,即以G为基础图的所有符号图Laplacian多项式的平均值.并得到了平均Laplaci
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令G=(V(G),E(G))是n个点,m条边的简单图,σ:E(G)→{+1,-1}是定义在边集E(G)上的符号映射,则称Γ=(G,σ)为G的一个符号图,其中G是符号图Γ的基础图,σ是它的符号函数.本文主要利用组合与代数方法研究符号图的各种多项式.首先,本文提出了一个全新的图多项式――平均Laplacian多项式,即以G为基础图的所有符号图Laplacian多项式的平均值.并得到了平均Laplacian多项式系数的一个组合表达式,以及它与其它多项式,特别是匹配多项式之间的一些关系式.然后,给定一个符号图,本文定义了三类符号变换图,即符号中间图,符号三角扩展图和符号全图.当G是正则图时,我们给出这三类符号变换图的邻接特征多项式,Laplacian特征多项式和无符号Laplacian多项式与原符号图对应多项式之间的关系.这些结果推广了一般图对应的已有结论.最后,我们定义了一个从k-剖分图S_k(G)的符号函数集到原图G的所有符号函数集上的映射Θ.利用这个映射Θ,我们证明了当G是正则图时,符号图Γ=(S_k(G),η)的几个特征多项式都可用Γ=(G,Θ_η)对应的多项式表示.利用这些关系式我们进一步建立了一般正则图k-剖分图的平均Laplacian多项式和其匹配多项式之间的联系.
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