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在矩阵理论中我们常会关注一些特殊矩阵的子矩阵或与其相关的矩阵是否仍然具有原来矩阵的性质或结构,其中Schur补和三角-Schur补是得到其子矩阵相关矩阵的重要工具.对于,其中A是可逆的,M/AD—CA-1B称为M对于A的Schur补.Schur补的概念不仅适用于矩阵代数,而且也适用于一般的欧几里得若当代数,因此人们就借助欧几里得若当代数的相关技术来考虑其Schur补是否仍然具有原来矩阵的性质或结构.本文在Schur补概念的基础上进行推广得到三角-Schur补的概念,并借助欧几里得若当代数的相关技术来考虑其三角-Schur补是否仍然具有原来矩阵的性质或结构.另外,三对角矩阵是一类重要的特殊矩阵,它在工程学、医学和信号处理中有着广泛的应用.特别是在求解差分方程、微分方程以及延滞微分方程时,常常需要求解三对角矩阵的逆.正是由于三对角矩阵的逆的广泛应用,求其逆矩阵成为近年来数学研究较为热门的领域.本文主要研究了在佗×佗实对称矩阵代数下的三角-Schur补和对称块三对角矩阵求逆的算法,主要内容如下：第一章,首先介绍了近几年来,Schur补在欧几里得若当代数上和三对角矩阵及块三对角矩阵求逆的研究现状,其次给出了本文的主要研究成果.第二章,首先是将所有的讨论建立在n×n实对称矩阵代数中的,为了深入研究Schur补的适用范围,引入了三角-Schur补,利用严格对角占优元素的Schur补仍是严格对角占优的,得到一些特殊的严格对角占优元素的三角-Schur补仍是严格对角占优的；并举例说明Carbtree-Haynsworth系数公式对于三角-Schu补不成立,即设n×n实对称矩阵代数V,c和d是V中的两个幂等元,且d≤c,A∈V,假设u:=Pc(A)∈V(c,1),α:=Pd(u)∈V(d,1)是可逆的,那么u/oaθ= Pc-d(A/oaθ)∈V(c-d,1)也是可逆的,但等式(A/oaθ)/。(u/oaθ)θ=A/ouθ不一定成立,同时证明了若A≥0,则根据θ的不同取值知道(A/oaθ)/o(u/oaθ)θ和A/ouθ之间明确的大小关系.而且给定一若当基底,引入了n×佗实对称矩阵C和V中元素A的Schur积C·A的概念,并证明了若C≥0,A≥0,则C·A≥0,也给出了其行列式的界.最后给出数值例子.第三章,将所有的讨论建立在对称块三对角矩阵求逆的原有计算公式的基础上,利用转换矩阵产生的关于块的连续两届递归关系及矩阵的代数运算方法,给出了求解对称块三对角矩阵的逆的一种新的数值算法,在计算复杂度上改进了现有的结果,并在本章的最后利用数值例子验证了其有效性.