【摘 要】
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F.Smarandache是美籍罗马尼亚数论专家.他在《Only problems,not Solutions》一书中提出了Smarandache函数.对任意的正整数n,Smarandache函数S(n)定义为最小的正整数m使得n|m
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F.Smarandache是美籍罗马尼亚数论专家.他在《Only problems,not Solutions》一书中提出了Smarandache函数.对任意的正整数n,Smarandache函数S(n)定义为最小的正整数m使得n|m!.即就是S(n)=min{m:m∈N,n|m!}而根据Smarandache函数,David Gorski提出了伪Smarandache函数.(?)n∈N,伪Smarandache函数Z(n)定义为最小的正整数k,使得n整除1＋2＋3＋...＋k.即Z(n)=min{k:k∈N,|k(k＋1)/2}.David Gorski还利用初等方法对它的初等性质进行了研究,并得到了一些好的结果.为了进一步对Smarandache函数进行研究,人们又提出了一些推广的伪Smarandache函数,也得到了一些较好的结果.基于以上背景,本文研究了以下几个方面的问题.1.定义了一个新的伪Smarandache函数Z0(n).当n为偶数时,定义Zo(n)=m,m为最小的整数使得n整除2＋4＋6＋…＋2m=m(m+1),即Zo(n)=min{m:m∈N,n|m(m＋1)}；当n为奇数时,m为最小的整数使得n|1＋3＋5＋…＋(2m一1)=m2.即Zo(n)=min{m:m∈N,n|m2}.利用解析方法以及Perron公式研究函数Z0(2n-1)的均值性质,并给出了一个较强的渐近公式.2.对伪Smarandachc函数进行了推广,引入了一个新的伪Smarandachc函数T(n)=min{a＋b:a,b∈N,n|a(a＋a1)+b},并利用初等方法对它的基本性质进行了研究.最终给出了这个函数各种均值的几个较理想的渐近公式.
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