解的凸性是偏微分方程和几何分析研究中的一个重要课题，其主要研究方法分为宏观方法和微观方法．对于一般椭圆和抛物方程，我们自然地想研究其解的相关凸性，例如解的凸性和解的水平集的凸性．建立相应的常秩定理则是微观凸性方法的关键．然而，相对一般椭圆方程，其微观凸性已经有了系统的研究，本文则针对一般抛物方程解的微观凸性给出系统的研究，利用强极值原理建立相应的常秩定理，并且给出一些几何和分析上的应用．本文的主要结果列举如下，　　 水平集的凸性是很重要的一种凸性，我们考虑抛物方程的（空间）拟凹解的凸性，进而得到其微观凸性原理．　　 定理0.1.设u∈C3,1(Ω×[0,T])为如下抛物方程的空间拟凹解　　 (e)u/(e)t=F(▽2u,▽u,u,t)inΩ×(0，T]，(1)并且存在某个常数γ0＞0和c0＞0，使得对任意(x，t)∈Ω×[0，T都有(▽2u(x,t),▽u(x,t),u(x,t))∈Λ×(R)n×(-γ0+c0，γ0+c0)，▽u≠0.若F满足结构条件　　 F(s2A，sθ，u，t)关于(A，s)是局部凹的．(2)其中（θ，u）∈(S)n-1×(R).若对任意c∈(-γ0+c0，γ0+c0)空间（上）水平集{x∈Ω|u(x,t)≥c}是连通、局部凸的．则对任意c∈(-γ0+c0，γ0+c0)水平集{x∈Ω|u(x，t)=c}的第二基本形式在Ω上的秩是常数，进一步，设t时刻水平集的第二基本形式在Ω上的极小秩为l(t)，则对任意0＜s≤t≤T有l(s)≤l(t)．　　 作为应用，我们考虑凸环上的抛物方程的（空间）拟凹解，得到空间水平集的主曲率的下界估计如下　　 定理0.2．假设u∈C3,1(Ω×[0,T])是如下抛物方程的空间拟凹解，　　 {(e)u/(e)t=F(▽2u,▽u,u,t)inΩ×(0，T]，u(x,0)=u0(x)inΩ，(3)u(x,t)=0on(e)Ω0×(0,T]，u(X，t)=1on(e)Ω1×(0,T]，其中u0满足一定的相容性条件(见(4.46))，▽u≠0，并且F满足结构条件　　 F(s2A，sθ，u，t)关于(A，s)是局部凹的．(4)其中(θ，u)∈(S)n-1×(R).则　　 κu(x,t)≥min{κ0,κ1e-A}eAu(x,t)(5)其中κu(x,t)的定义为(4.47)，常数A依赖于||F||C2,n，λmin(x,t)∈Ω×[0，T]|▽u|,||u||C3．进一步，若“=”在某点(x，t)成立，其中u(x，t)∈(0，1)，则“=”在Ω上恒成立，　　 时空凸性也是一种很有意思的凸性，我们得到关于时空凸解的微观凸性原理如下　　 定理0.3．设Ω是(R)n中的一个区域，F=F(A，p，u，x，t)∈C2，1(Sn+×(R)n×(R)×Ω×(0，T])，u∈C2，1（Ω×（0，T]）为抛物方程　　 (e)u/(e)t=F(D2u,Du,u,x,t),(x,t)∈Ω×(0，T]，(6)的时空凸解，并且F满足结构条件　　 F(A-1，p，u，x，t)关于(A，u，x，t)局部凸．(7)则对任意固定的时间t∈(0，T]，时空Hessian矩阵∧D2u在Ω上保持常秩.进一步，令l(t)为t时刻的时空Hessian矩阵∧D2u在Ω上的极小秩,则对任意0＜s≤t≤T有l(s)≤l(t)．　　 特别地，如果时空凸解的空间Hessian矩阵是严格正定的，我们在更弱的结构条件下得到如下常秩定理　　 定理0.4．设Ω为(R)n中一个邻域，F=F(A，p，u，x，t)∈C2，1(Sn+×(R)n×(R)×Ω×(0，T])，u为抛物方程　　 (e)u/(e)t=F(D2u,Du,u,x,t),(x,t)∈Ω×(0，T]，(8)的时空凸解并且关于空间变量严格凸，即　　 D2u＞0,∧D2u≥0,(V)(x,t)∈Ω×(0,T].(9)并且F满足结构条件　　 对任意常数c，{(A，u，x，t)∶F(A-1，p，u，x，t)≤c}是凸的．(10)若∧D2u在某点(x0，t0)∈Ω×(0，T]达到极小秩n,则∧D2u在Ω×(0，t0]保持常秩n．　　 对平均曲率流，我们得到关于时空第二基本形式的常秩定理如下定理0.5．设M(t)∈Rn+1(t∈[0，T))为紧超曲面，并且为如下平均曲率流的解　　 Xt=-H→n(11)若M(t)是时空凸的，即时空第二基本形式　　 ∧h=（hijHiHjHt）在M×[0,T）上半正定，则存在时间t0∈[0，T），使得M(t)在（0，t0]是严格(空间）凸的(i.e．rank∧h≡n），在(t0，T)是严格时空凸的(i.e.rank∧h≡n+1)。