本论文致力于对Krasnoselskii型与Schauder型不动点问题作一次比较全面深入的研究探讨,并获得了一系列颇有用处的新结果.这些结果能够很好地被应用于多种微分,积分,积分-微分,中立型微分方程以及非线性分析的扰动算子之中.　　 本文分三章研究如下五种情形及其混合情形下Krasnoselskii型算子方程　　 Tx+Sx=x,x∈K(*)解的存在性问题,特征值问题以及它们的应用问题,其中K是某Banach空间E的非空闭凸子集.　　 (1).算子T不是压缩型而是其他类型,如扩张型或非扩张型等；　　 (2).算子S的紧性丧失,即S是一k-集压缩映射或非紧映射；　　 (3).方程(*)所处的环境为弱拓扑环境；　　 (4).算子T或S不具有连续性,允许它们具有较弱的连续性;　　 (5).算子T不必连续且I-T处于临界情形,也即I-T允许不可逆.　　 在文章第二章,我们首先建立一个扩张型算子的不动点定理,它是Banach压缩映像原理的补充.然后利用标准的紧分析技术,我们成功地将T的压缩性换为扩张性,并获得(*)在情形(1)下的许多扩张型Krasnoselskii不动点定理,其中的几个结果是Krasnoselskii不动点定理的重要补充,并且我们举例说明了新获得的结果不是经典Krasnoselskii不动点的变体.随后,借助非紧性测度,非线性分析技巧以及Sadovskii不动点定理,我们得到方程(*)在情形(1)与(2)下的许多存在性准则,它们推广并完善了前人相关的工作.然后,我们将所得结果应用到相应于(*)在临界情形下的特征值问题.最后,我们提出一个富有意思的有关”扩张集”算子的不动点问题的注记.其中的部分内容包含在[65].　　 众所周知,无穷维Banach空间不是局部紧的以及实际应用中形如(*)的方程所涉及的算子可能不是连续的,因此我们在第三章研究(*)在情形(1)与(3)下的相关问题.通过运用第二章的部分结果以及弱拓扑版的Schauder不动点原理,我们建立了方程(*)在情形(1)与(3)下的许多有用的新结果,其中的部分结果推广和补充了文献中相关的结论.在这一章里,算子T与S的连续性与紧性分别被取代为弱连续性和弱紧性,同时算子T可以不是压缩型的.更为重要的是,我们建立了一个抽象的弱拓扑型Krasnoselskii不动点定理,它统一并覆盖了许多前人相应的工作.随后,我们利用所获得的结果去研究单参数算子方程　　 λTx+Sx=x,λ≥0,x∈E.(**)并得到了方程(**)一系列可解性结果.最后,利用已经建立的结果,我们给出了Banach空间中一类抽象积分方程的解的存在性原理.这部分结果可以参见[66].　　 由于在某些实际应用中,方程(*)中的算子T并不连续或I-T不是单射,所以研究情形(5)变得紧迫和必要.在第四章里,通过利用多值上半连续映射的概念,结合标准紧方法和与非紧性测度相关的非紧性技巧,我们首先建立了多值版的Sadovskii不动点定理,然后过度得到方程(*)在情形(5)下的一个非紧型存在性原理.随后,通过研究它可能的不动点集合,我们得到了一个抽象的,普适的强拓扑型Krasnoselskii不动点定理,它不但是新颖的,而且包含了相当多现有的Krasnoselskii不动点定理.在这一章里,算子T不再要求是某种特定类型,如压缩型或扩张型等,其连续性也得到了重大的削弱,算子S的紧性限制得到放松或放置合理.这里所提供的方法揭示了强拓扑型Krasnoselskii不动点定理的本质特征.所得结果使我们能够研究更多的非线性问题,特别是对中立型方程的周期解存在性问题的系统研究.这里的部分内容可以参老[67]